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文章来源
莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M

3.3 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程组
 
1.了解二元一次方程组的概念.
2.会根据已知条件列出二元一次方程组.
 
重点
理解二元一次方程组的概念.
难点
学会根据实际问题中的等量关系列二元一次方程组.
 
一、创设情境,导入新知
前面我们学习了一元一次方程及解法,下面同学们看一下这个问题能用一元一次方程解决吗?
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《•》“预习导学”部分.
三、师生互动,理解新知
探究点一:二元一次方程及二元一次方程组的概念
问题1:某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵,已知樟树苗每棵2元,白杨树苗每棵1元,购买这些树苗用了60元,问樟树、白杨树苗各买了多少棵?
学生活动一:引导学生分析问题中的已知量和未知量以及量与量之间的相等关系,得出:
(1)樟树的棵数+白杨树的棵数=45棵,
(2)购买樟树苗的钱+购买白杨树苗的钱=60元.
提问一:上述问题中有几个未知量,能列一元一次方程解吗?
学生活动二:教师作如下引导,让学生分组讨论:
(1)若设樟树苗为x棵,则白杨树苗如何用含x的代数式表示?(45-x)
(2)列出怎样的一元一次方程?
(3)若设白杨树苗为x棵,则列出的一元一次方程一样吗?
(4)解两个形式不同的方程,问题的结果会不一样吗?
提问二:如果设樟树苗为x棵,白杨树苗为y棵,
你能列出几个独立的方程?
学生活动三:教师引导,学生分组讨论:
(1)购买樟树苗的钱如何表示?白杨树苗呢?(2x元、y元)
(2)是根据什么条件来列方程的?(上面的两个等量关系式:樟树的棵数(x)+白杨树的棵数(y)=45棵,
购买樟树苗的钱(2x)+购买白杨树苗的钱(y)=60元)
学生活动四:结合一元一次方程的概念,观察方程x+y=45①、2x+y=60②的特点,分组讨论如何给这样的方程下定义?
学生活动五:让学生把通过解一元一次方程得出的樟树苗的棵数(x=15)和白杨树苗的棵数(y=30)分别代入以上方程①和方程②,引导学生发现这里的x和y必须同时满足上面①,②两个方程,从而得出问题的二元一次方程组模型:x+y=45,2x+y=60,并进一步给出二元一次方程组的概念:(板书课题)
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.联立在一起的几个方程,称为方程组.由两个二元一次方程联立起来得到的方程组就叫做二元一次方程组.
探究点二:列二元一次方程组
学生活动六:议一议:上述提问一中如果设购买樟树苗x元,白杨树苗y元,能列出相应的二元一次方程组吗?引导学生分组讨论,得出如下结论:
x2+y=45,x+y=60.
学生活动七:完成课本问题2趣味练习:今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡、兔各几何?
四、应用迁移,运用新知
1.识别二元一次方程(组)
例1 有下列方程组:①xy=1,x+y=2;
②x-y=3,1x+y=1;③2x+z=0,3x-y=15;④x=5,x2+y3=7;
⑤x+π=3,x-y=1.其中二元一次方程组有(  )
A.1个   B.2个   C.3个   D.4个
解析:①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1;②方程组中第二个方程不是整式方程;③方程组中共有3个未知数.只有④⑤满足,其中⑤中的π是常数.
方法总结:识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法:一看方程组中的方程是否都是整式方程;二看方程组中是不是只含两个未知数;三看含未知数的项的次数是不是都为1.
2.利用二元一次方程的定义求参数的值
例2 已知|m-1|x|m|+y2n-1=3是关于x、y的二元一次方程,则m+n=______.
解析:根据二元一次方程满足的条件,即只含2个未知数,未知数的项的次数均为1的整式方程,即可求得m、n的值.根据题意得|m|=1且|m-1|≠0,2n-1=1,解得m=-1,n=1.所以m+n=0.
方法总结:本题的解题关键是正确理解二元一次方程的定义,根据定义求出未知数.
3.列二元一次方程组
例3 小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元与2元.设1元的贺卡为x张,2元的贺卡为y张,那么x,y所适合的一个方程组是(  )
A.x+y2=10,x+y=8    B.x2+y10=8,x+2y=10
 C.x+y=10,x+2y=8  D.x+y=8,x+2y=10
解析:根据题意可得到两个相等关系:(1)1元贺卡张数+2元贺卡张数=8(张),即x+y=8;(2)1元贺卡钱数+2元贺卡钱数=10(元),即x+2y=10.
方法总结:要判断哪个方程组符合题意,可从题目中找出两个相等关系,然后代入未知数,即可得到方程组,进而得到正确答案.
五、尝试练习,掌握新知
课本P99练习第1、2题.
《•》“随堂演练”部分.
六、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法?
本节课学习了解二元一次方程组的概念,会根据已知条件列出二元一次方程组.
七、深化练习,巩固新知
课本P105~106习题3.3第1~4题.
《•》“课时作业”部分.

第2课时 代入消元法

 
1.掌握用代入法解二元一次方程组的步骤.
2.熟练运用代入法解简单的二元一次方程组.
 
重点
灵活运用代入法的技巧解二元一次方程组.
难点
灵活运用代入法的技巧解二元一次方程组.
 
一、复习旧知,导入新课
通过上节课的学习,我们掌握了二元一次方程组的概念.那么,已知一个二元一次方程组,应该怎样求出它的解呢?这节课我们就来学习——代入法解二元一次方程组(板书课题).
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《•》“预习导学”部分.
三、师生互动,理解新知
探究点一:二元一次方程(组)的解
在上节课中我们探究的问题1中,我们得到(1)一元一次方程:2x+(45-x)=60;
(2)二元一次方程组:x+y=45,2x+y=60,
上面的一元一次方程我们会解,能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢?
思考:如何去解这个方程组呢?大家对比这两个方程,想一想.
解析:由方程组第一个方程可以得到y=45-x,把第二个方程中的y转换成45-x,也就是把方程y=45-x代入第二个方程,就可以得到2x+(45-x)=60.这样,我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程,由这个方程就可以求出x了.
总结:(1)使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
(2)上面解二元一次方程组的基本思路是“消元”,也就是要消去其中一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程.
(3)上题中的消元方法是从一个方程中求出一个未知数的表达式,再把它“代入”另一个方程,进行求解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
提问:你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗?
教师归纳:设法消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程.
学生自主阅读课本P100例1,讨论交流用代入法解二元一次方程组的一般步骤.
总结:用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
(1)将方程组里的一个方程变形,用含有一个未知数的式子表示另一个未知数;
(2)用这个式子代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值;
(3)把这个未知数的值代入上面的式子,求得另一个未知数的值;
(4)写出方程组的解.
四、应用迁移,运用新知
1.二元一次方程(组)的解
例1 已知x=1,y=-1是方程2x-ay=3的一个解,那么a的值是(  )
A.1   B.3   C.-3   D.-1
解析:将x=1,y=-1代入方程2x-ay=3,得2+a=3,所以a=1.
方法总结:根据方程的解的定义知,将x,y的值代入方程中,方程左右两边相等,即可求解.
2.用代入法解二元一次方程组
例2 用代入法解下列方程组:
(1)2x+3y=-19,①x+5y=1;  ② (2)2x-3y=1, ①y+14=x+23.  ②
解析:对于方程组(1),比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x=1-5y,然后代入①求解;对于方程组(2),应将方程组变形为2x-3y=1, ③4x-3y=-5,  ④观察③和④中未知数的系数,绝对值最小的是2,一般应选取方程③变形,得x=3y+12,然后代入④求解.
解:(1)由②,得x=1-5y.③
把③代入①,得2(1-5y)+3y=-19,
2-10y+3y=-19,-7y=-21,y=3.
把y=3代入③,得x=-14.
所以原方程组的解是x=-14,y=3;
(2)将原方程组整理,得2x-3y=1, ③4x-3y=-5.  ④
由③,得x=3y+12.⑤
把⑤代入④,得2(3y+1)-3y=-5,
3y=-7,y=-73.
把y=-73代入⑤,得x=-3.
所以原方程组的解是x=-3,y=-73.
方法总结:用代入法解二元一次方程组,关键是观察方程组中未知数的系数的特点,选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形.
3.已知方程组的解,用代入法求待定系数的值
例3 已知x=2,y=1是二元一次方程组ax+by=7,ax-by=1的解,则a-b的值为(  )
A.1    B.-1    C.2    D.3
解析:把解代入原方程组得2a+b=7,2a-b=1,解得a=2,b=3,所以a-b=-1.
方法总结:解这类题就是根据方程组解的定义求,即将解代入方程组,得到关于字母系数的方程组,解方程组即可.
五、尝试练习,掌握新知
课本P101练习第1~4题.
《•》“随堂演练”部分.
六、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法?
本节课学习了(1)解二元一次方程组的基本思想:二元――→消元转化一元.
(2)用代入法解二元一次方程组的步骤.
(3)熟练运用代入法解二元一次方程组,并能检验结果是否正确.
七、深化练习,巩固新知
课本P106习题3.3第5题.
《•》“课时作业”部分.

第3课时 加减消元法

 
1.使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤.
2.能运用加减法解二元一次方程组.
 
重点
掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法.
难点
明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等.
 
一、复习旧知,导入新知
(1)用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程组,并检验所得结果是否正确.
3x+2y=13,①3x-2y=5.  ②
学生活动:口答第(1)题,在练习本上完成第(2)题,一个同学说出结果.
上面的方程组中,我们用代入法消去了一个未知数,将“二元”转化为“一元”,从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组,是否存在其他方法,也可以消去一个未知数,达到化“二元”为“一元”的目的呢?这就是我们这节课将要学习的内容——加减法解二元一次方程组(板书课题).
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《•》“预习导学”部分.
三、师生互动,理解新知
探究点:用加减法解二元一次方程组
问题1:上面第(2)题的两个方程中,未知数y的系数有什么特点?(互为相反数)根据等式的性质,如果把这两个方程的左边与左边相加,右边与右边相加,就可以消掉y,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
解:①+②,得6x=18,解得x=3.
把x=3代入①,得9+2y=13,
所以y=2.
所以x=3,y=2.
学生活动一:比较用这种方法得到的x,y值是否与用代入法得到的相同.(相同)
上面方程组的两个方程中,因为y的系数互为相反数,所以我们把两个方程相加,就消去了y.观察一下,x的系数有何特点?(相等)方程①和方程②经过怎样的变化可以消去x?(相减)
学生活动二:观察、思考,尝试用①-②消元,解方程组,比较结果是否与用①+②得到的结果相同.(相同)
教师总结:我们将原方程组的两个方程相加或相减,把“二元”化成了“一元”,从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法,简称“加减法”.
教师提问:①比较上面解二元一次方程组的方法,是用代入法简单,还是用加减法简单?(加减法)
②在什么条件下可以用加减法进行消元?(某一个未知数的系数相等或互为相反数)
③什么条件下用加法、什么条件下用减法?(某个未知数的系数互为相反数时用加法,系数相等时用减法)
问题2:
学生活动三:解方程组6x+7y=-15,①6x-5y=21.  ②
教师:哪个未知数的系数有什么特点?(x的系数相等)把这两个方程怎样变化可以消去x?(相减)
学生活动:回答问题后,独立完成本题,一个学生板演.
解:①-②,得
12y=-36,
所以y=-3.
把y=-3代入②,得
6x-5×(-3)=21,
所以6x+15=21.
所以x=1.
所以x=1,y=-3.
教师:(1)检验一下,所得结果是否正确?(2)用②-①可以消掉x吗?(可以)是用①-②,还是用②-①计算比较简单?(①-②简单)(3)把y=-3代入①,x的值是多少?(4)是代入①计算简单还是代入②计算简单?(代入系数较简单的方程)
即时小结:用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数的绝对值相等.
学生活动四: 解方程组9x+2y=15,①3x+4y=10.②
教师分析:(1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件?(不符合)
(2)如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等?(①×2或②×3)
解:①×2,得18x+4y=30.③
③-②,得15x=20,x=43.
把x=43代入②,得4+4y=10,y=32.所以x=43,y=32.
归纳:如果两个方程中,未知数系数的绝对值都不相等,可以在方程两边都乘以同一个适当的数,使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等,然后再加减消元.
学生自主阅读课本P104例4,交流讨论用加减法解二元一次方程组的步骤:
①变形,使某个未知数的系数绝对值相等;
②加减消元;
③解一元一次方程;
④代入得另一个未知数的值,从而得方程组的解.
四、应用迁移,运用新知
1.用加减法解二元一次方程组
例1、例2 见课本P102例2、P103例3.
方法总结:用加减法解二元一次方程组时,决定消去哪个未知数很重要,一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数;复杂的方程组一定要先化简,再观察思考消元方案.
2.用加减法整体代入求值
例3 已知x、y满足方程组x+3y=5,3x+y=-1,求代数式x-y的值.
解析:观察两个方程的系数,可知两方程相减得2x-2y=-6,从而求出x-y的值.
解:x+3y=5, ①3x+y=-1,  ②
②-①得2x-2y=-1-5,③
得x-y=-3.
方法总结:解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系,利用加减消元法求解.
3.构造二元一次方程组求值
例4 已知xm-n+1y与-2xn-1y3m-2n-5是同类项,求m和n的值.
解析:根据同类项的概念,可列出含字母m和n的方程组,从而求出m和n.
解:因为xm-n+1y与-2xn-1y3m-2n-5是同类项,所以m-n+1=n-1,①3m-2n-5=1.  ②整理,得m-2n+2=0, ③3m-2n-6=0.  ④
④-③,得2m=8,所以m=4.把m=4代入③,得2n=6,所以n=3.所以当m=4,n=3时,xm-n+1y与-2xn-1y3m-2n-5是同类项.
方法总结:解这类题,就是根据同类项的定义,利用相同字母的指数分别相等,列方程组求字母的值.
五、尝试练习,掌握新知
课本P104练习、P105练习.
《•》“随堂演练”部分.
六、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法?
本节课学习了用加减法解二元一次方程组的步骤:(1)变形,使某个未知数的系数的绝对值相等;(2)加减消元;(3)解一元一次方程;(4)求另一个未知数的值,得方程组的解.
七、深化练习,巩固新知
课本P106习题3.3第6、7题.
《•》“课时作业”部分.

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