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文 章
来源 莲山 课件 w w
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2016-2017学年重庆XX中学八年级(上)期中数学试卷
 
一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)
1.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.下列运算正确的是(  )
A.3a2•a3=3a6 B.5x4﹣x2=4x2
C.(2a2)3•(﹣ab)=﹣8a7b D.2x2÷2x2=0
3.下列说法正确的是(  )
①用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形;②我国国旗上的4颗小五角星是全等形;③所有的正方形是全等形;④全等形的面积一定相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为(  )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
5.王老师一块教学用的三角形玻璃不小心打破了,他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃,为了方便他只要带哪一块就可以(  )
 
A.③ B.② C.① D.都不行
6.已知图中的两个三角形全等,则∠1等于(  )
 
A.50° B.58° C.60° D.72°
7.如图,直线l是一条河,A、B两地相距5km,A、B两地到l的距离分别为3km、6km,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向A、B两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是(  )
A.  B.  C.  D.
8.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式,右图可表示的代数恒等式是(  )
 
A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B.2a(a+b)=2a2+2ab
C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
9.已知(5﹣3x+mx2﹣6x3)(1﹣2x)的计算结果中不含x3的项,则m的值为(  )
A.3 B.﹣3 C.﹣  D.0
10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,在探究筝形的性质时,得到如下结论:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积= AC•BD,其中正确的结论有(  )
 
A.0个 B.1个 C..2个 D..3个
11.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是(  )
 
A.25° B.30° C.35° D.40°
12.为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值,可令S=1+2+22+23+…+22008+22009,则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010,因此2S﹣S=22010﹣1,所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1.仿照以上推理计算出1+5+52+53+…52009的值是(  )
A.52010+1 B.52010﹣1 C.  D.
 
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
13.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则要说明∠D′O′C′=∠DOC,需要证明△D′O′C′≌△DOC,则这两个三角形全等的依据是  (写出全等的简写).
 
14.已知:如图,AD是△ABC的角平分线,且AB:AC=3:2,则△ABD与△ACD的面积之比为  .
 
15.如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是角平分线,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为  .
 
16.已知点P(3,﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1﹣b),则ab的值为  .
17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为  .
18.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10cm,OC=6cm.F是线段OA上的动点,从点O出发,以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动,点Q在线段AB上.已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍.若用(a,t)表示经过时间t(s)时,△OCF、△FAQ、△CBQ中有两个三角形全等.请写出(a,t)的所有可能情况  .
 
 
三、解答题(共8小题,满分78分)
19.如图,已知AB=AC,∠1=∠2,∠B=∠C,则BD=CE.请说明理由:
解:∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAC=∠2+  .
即  =∠DAB.
在△ABD和△ACE中,
∠B=  (已知)
∵AB=  (已知)
∠EAC=  (已证)
∴△ABD≌△ACE(  )
∴BD=CE(  )
 
20.a,b分别代表铁路和公路,点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场.现要建中转站O点,使O点到铁路、公路距离相等,且到两市场距离相等.请用尺规画出O点位置,不写作法,保留痕迹.
 
21.将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖线记成 ,定义 =ad﹣bc,上述记号叫做二阶行列式,若 =5x,求x的值.
22.如图,已知△ABC的三个顶点在格点上.
(1)作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;
(2)求出A1,B1,C1三点坐标;
(3)求△ABC的面积.
 
23.(1)计算:(﹣x)2•x3•(﹣2y)3+(2xy)2•(﹣x)3•y
(2)已知2m= ,32n=2.求23m+10n的值.
24.如图,△ABC中,∠BAC=110°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,E、G分别为垂足.
(1)求∠DAF的度数;
(2)如果BC=10cm,求△DAF的周长.
 
25.(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF= ∠BAD.
求证:EF=BE+FD;
 
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?
 
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
 
26.阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;情形二:如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?  (填“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为  .
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
 
 
 

2016-2017学年重庆十八中八年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)
1.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故选项错误;
B、是轴对称图形,故选项正确;
C、不是轴对称图形,故选项错误;
D、不是轴对称图形,故选项错误.
故选:B.
 
2.下列运算正确的是(  )
A.3a2•a3=3a6 B.5x4﹣x2=4x2
C.(2a2)3•(﹣ab)=﹣8a7b D.2x2÷2x2=0
【考点】单项式乘单项式;合并同类项;整式的除法.
【分析】根据整式的各种运算法则逐项分析即可.
【解答】解:A、3a2•a3=3a5≠3a6,故A错误;
B、5x4﹣x2不是同类项,所以不能合并,故B错误;
C、(2a2)3•(﹣ab)=﹣8a7b,计算正确,故C正确;
D、2x2÷2x2=1≠0,计算错误,故D错误;
故选:C.
 
3.下列说法正确的是(  )
①用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形;②我国国旗上的4颗小五角星是全等形;③所有的正方形是全等形;④全等形的面积一定相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】全等图形.
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断.
【解答】解:能够完全重合的两个图形叫做全等形.
①正确,用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片,各相片可以完全重合,故是全等形;
②正确,我国国旗上的4颗小五角星是全等形;
③错误,所有的正方形边长不一定一样,故不能完全重合,不能称都是全等形;
④正确,全等形可以完全重合,故其面积一定相等.
∴共有三个正确,故选C.
 
4.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为(  )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,则应该分两种情况进行分析.
【解答】解:①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;
②当8为腰时,8﹣4<8<8+4,符合题意.
故此三角形的周长=8+8+4=20.
故选C.
 
5.王老师一块教学用的三角形玻璃不小心打破了,他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃,为了方便他只要带哪一块就可以(  )
 
A.③ B.② C.① D.都不行
【考点】全等三角形的应用.
【分析】此题是一道开放性题,实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况.此处可以运用排除法进行分析.
【解答】解:①块,它只保留了原来的一个角,那么这样去配也有很大的难度;
②块,因为它只是其中不规则的一块,如果仅凭这一块不能配到与原来一样大小的三角形玻璃;
③块,它保留了原来的一条边和两个角,这正好符合全等三角形的判定中的ASA;
所以应该带第③块去.
故选A.
 
6.已知图中的两个三角形全等,则∠1等于(  )
 
A.50° B.58° C.60° D.72°
【考点】全等三角形的性质;三角形内角和定理.
【分析】根据已知数据找出对应角,根据全等得出∠A=∠D=50°,∠F=∠C=72°,根据三角形内角和定理求出即可.
【解答】解:
∵△ABC和△DEF全等,AC=DF=b,DE=AB=a,
∴∠1=∠B,∠A=∠D=50°,∠F=∠C=72°,
∴∠1=180°﹣∠D﹣∠F=58°,
故选B.
 
7.如图,直线l是一条河,A、B两地相距5km,A、B两地到l的距离分别为3km、6km,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向A、B两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】轴对称-最短路线问题;垂线段最短.
【分析】作点A关于直线l的对称点,再把对称点与点B连接,根据轴对称确定最短路线问题,交点即为所求点M.
【解答】解:根据最短路线问题,B选项图形方案符合.
故选B.
 
8.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式,右图可表示的代数恒等式是(  )
 
A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B.2a(a+b)=2a2+2ab
C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
【考点】单项式乘多项式.
【分析】由题意知,长方形的面积等于长2a乘以宽(a+b),面积也等于四个小图形的面积之和,从而建立两种算法的等量关系.
【解答】解:长方形的面积等于:2a(a+b),
也等于四个小图形的面积之和:a2+a2+ab+ab=2a2+2ab,
即2a(a+b)=2a2+2ab.
故选:B.
 
9.已知(5﹣3x+mx2﹣6x3)(1﹣2x)的计算结果中不含x3的项,则m的值为(  )
A.3 B.﹣3 C.﹣  D.0
【考点】多项式乘多项式.
【分析】把式子展开,找到所有x3项的所有系数,令其为0,可求出m的值.
【解答】解:∵(5﹣3x+mx2﹣6x3)(1﹣2x)=5﹣13x+(m+6)x2+(﹣6﹣2m)x3+12x4.
又∵结果中不含x3的项,
∴﹣2m﹣6=0,解得m=﹣3.
故选B.
 
10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,在探究筝形的性质时,得到如下结论:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积= AC•BD,其中正确的结论有(  )
 
A.0个 B.1个 C..2个 D..3个
【考点】全等三角形的判定.
【分析】先证明△ABD与△CBD全等,再证明△AOD与△COD全等即可判断.
【解答】解:在△ABD与△CBD中,
 ,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
故①正确;
∴∠ADB=∠CDB,
在△AOD与△COD中,
 ,
∴△AOD≌△COD(SAS),
∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC,
∴AC⊥DB,
故②正确;
四边形ABCD的面积= = AC•BD,
故③正确;
故选D.
 
11.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是(  )
 
A.25° B.30° C.35° D.40°
【考点】轴对称-最短路线问题.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=DM,OP=OC,∠COA=∠POA;PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,得出∠AOB= ∠COD,证出△OCD是等边三角形,得出∠COD=60°,即可得出结果.
【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,
分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:
∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为C,
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,
∴OC=OP=OD,∠AOB= ∠COD,
∵△PMN周长的最小值是5cm,
∴PM+PN+MN=5,
∴DM+CN+MN=5,
即CD=5=OP,
∴OC=OD=CD,
即△OCD是等边三角形,
∴∠COD=60°,
∴∠AOB=30°;
故选:B.
 
 
12.为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值,可令S=1+2+22+23+…+22008+22009,则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010,因此2S﹣S=22010﹣1,所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1.仿照以上推理计算出1+5+52+53+…52009的值是(  )
A.52010+1 B.52010﹣1 C.  D.
【考点】规律型:数字的变化类.
【分析】仔细阅读题目中示例,找出其中规律,求解本题.
【解答】解:根据题中的规律,设S=1+5+52+53+…+52009,
则5S=5+52+53+…+52009+52010,
所以5S﹣S=4S=52010﹣4,
所以S= .
故选C.
 
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
13.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则要说明∠D′O′C′=∠DOC,需要证明△D′O′C′≌△DOC,则这两个三角形全等的依据是 SSS (写出全等的简写).
 
【考点】全等三角形的判定.
【分析】1、以O为圆心,任意长为半径用圆规画弧,分别交OA、OB于点C、D;
2、任意画一点O’,画射线O'A',以O'为圆心,OC长为半径画弧C'E,交O'A'于点C';
3、以C'为圆心,CD长为半径画弧,交弧C'E于点D';
4、过点D'画射线O'B',∠A'O'B'就是与∠AOB相等的角.
则通过作图我们可以得到OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′,从而可以利用SSS判定其全等.
【解答】解:OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′,从而可以利用SSS判定其全等.
故填SSS.
 
14.已知:如图,AD是△ABC的角平分线,且AB:AC=3:2,则△ABD与△ACD的面积之比为 3:2 .
 
【考点】角平分线的性质.
【分析】本题需先利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等,即两三角形的高相等,观察△ABD与△ACD,面积比即为已知AB、AC的比,答案可得.
【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,
∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离,
又∵AB:AC=3:2,
则△ABD与△ACD的面积之比为 3:2.
故答案为:3:2.
 
15.如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是角平分线,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为 24 .
 
【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
【分析】根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA,求证△AON和△BOM为等腰三角形,再根据AC+BC=24,利用等量代换即可求出△CMN的周长
【解答】解:AO、BO分别是角平分线,
∴∠OAN=∠BAO,∠ABO=∠OBM,
∵MN∥BA,∴∠AON=∠BAO,∠MOB=∠ABO,
∴AN=ON,BM=OM,即△AON和△BOM为等腰三角形,
∵MN=MO+ON,AC+BC=24,
∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24.
故答案为:24.
 
16.已知点P(3,﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1﹣b),则ab的值为 25 .
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可直接得到答案.
【解答】解:∵点P(3,﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1﹣b),
∴ ,
解得: ,
则ab的值为:(﹣5)2=25.
故答案为:25.
 
17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27° .
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数.
【解答】解:在三角形ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于D.
①若是锐角三角形,∠A=90°﹣36°=54°,
底角=÷2=63°;
 
②若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,
此时底角=÷2=27°.
 
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.
故答案为:63°或27°.
 
18.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10cm,OC=6cm.F是线段OA上的动点,从点O出发,以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动,点Q在线段AB上.已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍.若用(a,t)表示经过时间t(s)时,△OCF、△FAQ、△CBQ中有两个三角形全等.请写出(a,t)的所有可能情况 (1,4),( ,5),(0,10) .
 
【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质.
【分析】分类讨论:①当△COF和△FAQ全等时,得到OC=AF,OF=AQ或OC=AQ,OF=AF,代入即可求出a、t的值;②同理可求当△FAQ和△CBQ全等时a、t的值,③△COF和△BCQ不全等,④F,Q,A三点重合,此时(0,10)
综合上述即可得到答案.
【解答】解:①当△COF和△FAQ全等时,
OC=AF,OF=AQ或OC=AQ,OF=AF,
∵OC=6,OF=t,AF=10﹣t,AQ=at,代入得: 或 ,
解得:t=4,a=1,或t=5,a= ,
∴(1,4),( ,5);
②同理当△FAQ和△CBQ全等时,必须BC=AF,BQ=AQ,
10=10﹣t,6﹣at=at,
此时不存在;
③因为△CBQ最长直角边BC=10,而△COF的最长直角边不能等于10,所以△COF和△BCQ不全等,
④F,Q,A三点重合,此时△COF和△CBQ全等,此时为(0,10)
故答案为:(1,4),( ,5),(0,10).
 
三、解答题(共8小题,满分78分)
19.如图,已知AB=AC,∠1=∠2,∠B=∠C,则BD=CE.请说明理由:
解:∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAC=∠2+ ∠BAC .
即 ∠EAC =∠DAB.
在△ABD和△ACE中,
∠B= ∠C (已知)
∵AB= AC (已知)
∠EAC= ∠DAB (已证)
∴△ABD≌△ACE( ASA )
∴BD=CE( 全等三角形的对应边相等 )
 
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】根据等式的性质得:∠EAC=∠DAB,再根据ASA证明△ABD≌△ACE,得出BD=CE.
【解答】解:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC,
即∠EAC=∠DAB,
在△ABD和△ACE中,
∵ ,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
故答案为:∠BAC,∠EAC,∠C,AC,∠DAB,ASA,全等三角形的对应边相等.
 
20.a,b分别代表铁路和公路,点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场.现要建中转站O点,使O点到铁路、公路距离相等,且到两市场距离相等.请用尺规画出O点位置,不写作法,保留痕迹.
 
【考点】线段垂直平分线的性质;角平分线的性质.
【分析】连接MN,先画出a、b两线所组成的角的平分线,然后再画出线段MN的中垂线.这两条直线的交点即为所求.
【解答】解:①以A为圆心,以任意长为半径画圆,分别交铁路a和公路b于点B、C;
②分别以B、C为圆心,以大于 BC为半径画圆,两圆相交于点D,连接AD,则直线AD即为∠BAC的平分线;
③连接MN,分别以M、N为圆心,以大于 MN为半径画圆,两圆相交于E、F,连接EF,则直线EF即为线段MN的垂直平分线;
④直线EF与直线AD相交于点O,则点O即为所求点.
 
21.将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖线记成 ,定义 =ad﹣bc,上述记号叫做二阶行列式,若 =5x,求x的值.
【考点】多项式乘多项式;解一元一次方程.
【分析】根据新定义列出一元一次方程,解方程得到答案.
【解答】解:由题意得(x+2)(x﹣2)﹣(x﹣3)(x+1)=5x,
解得x=﹣ .
 
22.如图,已知△ABC的三个顶点在格点上.
(1)作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;
(2)求出A1,B1,C1三点坐标;
(3)求△ABC的面积.
 
【考点】作图-轴对称变换.
【分析】(1)根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可;
(2)根据各点在坐标系中的位置写出A1,B1,C1三点坐标即可;
(3)根据S△ABC=正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可.
【解答】解:(1)如图所示;

(2)由图可知,A1(﹣2,﹣3),B1(﹣3,﹣1),C1(﹣1,﹣1);

(3)S△ABC=2×2﹣ ×1×1﹣ ×1×2﹣ ×1×2
=4﹣ ﹣1﹣1
= .
 
 
23.(1)计算:(﹣x)2•x3•(﹣2y)3+(2xy)2•(﹣x)3•y
(2)已知2m= ,32n=2.求23m+10n的值.
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】(1)先算乘方,再算乘法,最后合并即可;
(2)先变形求出25n=2,再把23m+10n=23m•210n变形得出(2m)3•(25n)2,代入求出即可.
【解答】解:(1)原式=﹣x2•x3•8y3﹣4x2y2•x3•y
=﹣8x5y3﹣4x5y3
=﹣12x5y3;

(2)∵32n=2,
∴25n=2,
∵2m= ,
∴23m+10n=23m•210n
=(2m)3•(25n)2
=( )3•22=
即23m+10n的值是 .
 
24.如图,△ABC中,∠BAC=110°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,E、G分别为垂足.
(1)求∠DAF的度数;
(2)如果BC=10cm,求△DAF的周长.
 
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】(1)根据三角形内角和定理可求∠B+∠C;根据垂直平分线性质,DA=BD,FA=FC,则∠EAD=∠B,∠FAC=∠C,得出∠DAF=∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC=110°﹣(∠B+∠C)求出即可.
(2)由(1)中得出,AD=BD,AF=FC,即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC,即可得出答案.
【解答】解:(1)设∠B=x,∠C=y.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴110°+∠B+∠C=180°,
∴x+y=70°.
∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,
∴DA=BD,FA=FC,
∴∠EAD=∠B,∠FAC=∠C.
∴∠DAF=∠BAC﹣(x+y)=110°﹣70°=40°.

(2)∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,
∴DA=BD,FA=FC,
∴△DAF的周长为:AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10(cm).
 
 
25.(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF= ∠BAD.
求证:EF=BE+FD;
 
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?
 
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
 
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G,使BG=DF,连接AG.目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE,那么这样EF=BE+DF了,于是证明两组三角形全等就是解题的关键.三角形ABE和AEF中,只有一条公共边AE,我们就要通过其他的全等三角形来实现,在三角形ABG和AFD中,已知了一组直角,BG=DF,AB=AD,因此两三角形全等,那么AG=AF,∠1=∠2,那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD.由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件(SAS),那么就能得出EF=GE了.
(2)思路和作辅助线的方法与(1)完全一样,只不过证明三角形ABG和ADF全等中,证明∠ABG=∠ADF时,用到的等角的补角相等,其他的都一样.因此与(1)的结果完全一样.
(3)按照(1)的思路,我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.根据(1)的证法,我们可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF.所以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的.
【解答】证明:(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.
 
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG.
∴EF=BE+FD

(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.

(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE﹣FD.
证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
 
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
∵AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF= ∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD.
 
26.阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;情形二:如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角? 是 (填“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为 ∠B=n∠C .
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
 
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】(1)在小丽展示的情形二中,如图3,根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C;
(2)根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①,根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②,由①②可以求得∠B=3∠C;
利用数学归纳法,根据小丽展示的三种情形得出结论:∠B=n∠C;
(3)利用(2)的结论知∠B=n∠C,∠BAC是△ABC的好角,∠C=n∠A,∠ABC是△ABC的好角,∠A=n∠B,∠BCA是△ABC的好角;然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.
【解答】解:(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是△ABC的好角;
理由如下:小丽展示的情形二中,如图3,
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠,
∴∠B=∠AA1B1;
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合,
∴∠A1B1C=∠C;
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理),
∴∠B=2∠C,∠BAC是△ABC的好角.
故答案是:是;

(2)∠B=3∠C;如图所示,在△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠,点B2与点C重合,则∠BAC是△ABC的好角.
证明如下:∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1 B1C=∠A1A2B2,
∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°,
根据三角形ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=3∠C;
由小丽展示的情形一知,当∠B=∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形二知,当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形三知,当∠B=3∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C;

(3)由(2)知设∠A=4°,∵∠C是好角,∴∠B=4n°;
∵∠A是好角,∴∠C=m∠B=4mn°,其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180
∴如果一个三角形的最小角是4°,三角形另外两个角的度数是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.
 
2016年11月21日

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