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文 章来源
莲山 课件 w w
w.5 Y k J.COm

解直角三角形
 
一、选择题(共13小题,每小题4分,满分52分)
1.在△ABC中,已知AB=5,AC=3,BC=4,则下列结论中正确的是(  )
A.sinA=  B.cosB=  C.tanA=  D.tanB=
2.如图,△ABC为边长是5的等边三角形,点E在AC边上,点F在AB边上,ED⊥BC,且ED=AE,DF=AF,则CE的长是(  )
 
A.  B.  C.20+10  D.20﹣10
3.正方形网格中,∠AOB如图放置,则cos∠AOB的值为(  )
 
A.  B.  C.  D.2
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列关系式中错误的是(  )
A.b=c•cosB B.b=a•tanB C.a=c•sinA D.a=b•cotB
5.如图,已知▱ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G,下面结论:
①DB= BE;②∠A=∠BHE;③AB=BH;④△BHD∽△BDG.
其中正确的结论是(  )
 
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
6.如图,点A的坐标为(﹣1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为(  )
 
A.(0,0) B.( ,﹣ ) C.(﹣ ,﹣ ) D.(﹣ ,﹣ )
7.如图,AB为⊙O的直径,CA切⊙O于A,CB交⊙O于D,若CD=2,BD=6,则sinB=(  )
 
A.  B.  C.  D.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则tanA=(  )
A.  B.  C.  D.
9.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= ,则tanB的值为(  )
A.  B.  C.  D.
10.如图为了测量某建筑物AB的高度,在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进12m到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°,则建筑物AB的高度等于(  )
 
A.6( +1)m B.6( ﹣1)m C.12( +1)m D.12( ﹣1)m
11.已知α为等边三角形的一个内角,则cosα等于(  )
A.  B.  C.  D.
12.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英同学离A地(  )
 
A.  m B.100m C.150m D.  m
13.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题(共10小题,每小题5分,满分50分)
14.化简 =  .
15.如图,铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1:1.5,上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为  m.
 
16.如图,某公园入口处原有三阶台阶,每级台阶高为20cm,深为30cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡度设计为i=1:4.5,则AC的长为  cm.
 
17.身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度,已知她与树之间的距离为6m,那么这棵树高大约为  m.(结果精确到0.1m,其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高)
 
18.如图,在正方形网格中,∠ABO的正切值是  .
 
19.若△ABC中,∠C=90°,AC:BC=3:4,那么sinA=  .
20.如图,有一个边长为5的正方形纸片ABCD,要将其剪拼成边长分别为a,b的两个小正方形,使得a2+b2=52.
①a,b的值可以是  (提示:答案不惟一)(写出一组即可);
②请你设计一种具有一般性的裁剪方法,在图中画出裁剪线,并拼接成两个小正方形,同时说明该裁剪方法具有一般性:
  .
 
21.将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放,∠ACB与∠DCE完全重合,∠C=90°,∠A=45°,∠EDC=60°,AB=4 ,DE=6,则EB=  .
 
22.比较大小:sin33°+cos33°  1.(可用计算器辅助)
23.在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,如果AC=3,BC=4,那么sinA=  .
 
三、解答题
24.如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;
(3)连接OA,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN与△OAB相似?若存在,求出N点的坐标;若不存在,说明理由.
 
25.计算: .
26.如图,小明站在A处放风筝,风筝飞到C处时的线长为20米,这时测得∠CBD=60°,若牵引底端B离地面1.5米,求此时风筝离地面高度.(计算结果精确到0.1米, ≈1.732)
 
27.计算: .
28.为测量大楼CD的高度,某人站在A处测得楼顶的仰角为45°,前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°,求大楼CD的高度.
29.如图,为测量某塔AB的高度,在离该塔底部20米处目测其顶A,仰角为60°,目高1.5米,试求该塔的高度( ≈1.7).
 
30.九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动,目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α.
 
(1)如图1,小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上,使得BF与BE的长度相等,如果测量得到∠EFB=36°,那么∠α的度数是  ;
(2)如图2,小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁,量出竿长1米时离地面的高度为0.6米,请你求出护坡石坝的垂直高度AH;
(3)全班总结了各组的方法后,设计了如图3方案:在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD,杆子与地面垂直,测得杆子的影子长为b米,点P到护坡石坝底部B的距离为c米,如果利用(1)得到的结论,请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH.
(sin72°≈0.95,cos72°≈0.3,tan72°≈3)
31.如图,某中学科学楼高15米,计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼,第一层是高2.5米的自行车场,第二层起为宿舍.已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低,此时太阳光线AB的入射角∠ABD=55°,为使第二层起能照到阳光,两楼间距EF至少是多少米(精确到0.1米).
(参考数据:tan55°=1.4281,tan35°=0.7002).
 
32.如图,某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆,测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°,在B地测得C地的仰角为60度.已知C地比A地高200米,电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米)
 
33.如图所示,把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转,使得点C与AB的延长线上的点D重合,已知BC=6.
(1)三角尺旋转了多少度?连接CD,试判断△BCD的形状;
(2)求AD的长;
(3)连接CE,试猜想线段AC与CE的大小关系,并证明你的结论.
 
34.计算:
35.计算:(﹣2)3+( )﹣1×cos60°﹣(1﹣ )0.
36.计算:﹣22+( )0+2sin30°.
37.又到了一年中的春游季节,某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”.下面是两位同学的一段对话:
甲:我站在此处看塔顶仰角为60°;
乙:我站在此处看塔顶仰角为30°;
甲:我们的身高都是1.5m;
乙:我们相距20m.
请你根据两位同学的对话,计算白塔的高度.(精确到1米)
 
38.如图,有两棵树,一棵高14m,另一棵高10m,两树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了多少米?
 
39.如图,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=4m,坝高AE=6 m,斜坡AB的坡比i=1:2,∠C=60°,求斜坡AB、CD的长.
 
40.如图,为了测量电线杆的高度AB,在离电线杆25米的D处,用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=22°,求电线杆AB的高.(精确到0.1米)参考数据:sin22°=0.3746,cos22°=0.9272,tan22°=0.4040,cot22°=2.4751.
 
41.兰州市城市规划期间,欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图),已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸,即BD=14米,该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2,岸高CF为2米,在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°,D、E之间是宽2米的人行道,请你通过计算说明在拆除电线杆AB时,为确保安全,是否将此人行道封上?(在地面上以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域)
 
42.课外实践活动中,数学老师带领学生测量学校旗杆的高度.如图,在A处用测角仪(离地高度为1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15°,朝旗杆方向前进23米到B处,再次测得旗杆顶端的仰角为30°,求旗杆EG的高度.
 
43.如图所示,张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼,风平浪静时,鱼漂露出水面部分AB=6cm,微风吹来,假设铅垂P不动,鱼漂移动了一段距离BC,且顶端恰好与水面齐平,(即PA=PC)水平l与OC的夹角α为8°(点A在OC上),求铅锤P处的水深h.(参考数据:sin8°≈ ,cos8°≈ ,tan8°≈ )
 
 
 
解直角三角形

参考答案与试题解析
 
一、选择题(共13小题,每小题4分,满分52分)
1.在△ABC中,已知AB=5,AC=3,BC=4,则下列结论中正确的是(  )
A.sinA=  B.cosB=  C.tanA=  D.tanB=
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】先判定此三角形为直角三角形,再根据锐角三角函数的定义,分别求得sinA、cosB、tanA、tanB的值,即可判断.
【解答】解:在△ABC中,∵AB=5,AC=3,BC=4,
∴△ABC是直角三角形,其中∠C是直角.
∴sinA= ,cosB= ,tanA= ,tanB= ,
故选A.
【点评】本题考查锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.
 
2.如图,△ABC为边长是5的等边三角形,点E在AC边上,点F在AB边上,ED⊥BC,且ED=AE,DF=AF,则CE的长是(  )
 
A.  B.  C.20+10  D.20﹣10
【考点】等边三角形的性质.
【专题】计算题
【分析】根据ED⊥BC可得∠CED=30°,即可求得EC与ED的关系,设DE=x,则AE=x,根据DE即可计算CE,根据AE+CE=5即可计算x的值,根据CE=AC﹣AE即可求CE的值.
【解答】解:∵ED⊥BC,∠C=60°,
∴∠CED=30°,
设DE=x,则AE=x,
且CE= x,
又∵AE+CE=5,
∴x+ x=5,
解得x=10 ﹣15,
∴CE=5﹣(10 ﹣15)=20﹣10 .
故选D.
【点评】本题考查了特殊角的正弦值,等边三角形各内角为60°的性质,本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键.
 
3.正方形网格中,∠AOB如图放置,则cos∠AOB的值为(  )
 
A.  B.  C.  D.2
【考点】锐角三角函数的定义.
【专题】网格型.
【分析】作EF⊥OB,则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题.
【解答】解:如图,作EF⊥OB,则EF=2,OF=1,由勾股定理得,OE= .
∴cos∠AOB= = = .
故选:A.
 
【点评】本题通过构造直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解.
 
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列关系式中错误的是(  )
A.b=c•cosB B.b=a•tanB C.a=c•sinA D.a=b•cotB
【考点】锐角三角函数的定义.
【专题】计算题
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,
则cosA= ,sinA= ,
tanB= ,cosB= ,
tanA= ,cotA= ;
因而b=ccosA=atanB,
a=csinA=ccosB=btanA= ,
错误的是b=c•cosB.
故选A.
【点评】利用锐角三角函数的定义,正确理解直角三角形边角之间的关系.在直角三角形中,如果已知一边及其中的一个锐角,就可以表示出另外的边.
 
5.如图,已知▱ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G,下面结论:
①DB= BE;②∠A=∠BHE;③AB=BH;④△BHD∽△BDG.
其中正确的结论是(  )
 
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
【考点】相似三角形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【专题】几何综合题;压轴题.
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案.
【解答】解:∵∠BDE=45°,DE⊥BC
∴DB= BE,BE=DE
∵DE⊥BC,BF⊥CD
∴∠BEH=∠DEC=90°
∵∠BHE=∠DHF
∴∠EBH=∠CDE
∴△BEH≌△DEC
∴∠BHE=∠C,BH=CD
∵▱ABCD中
∴∠C=∠A,AB=CD
∴∠A=∠BHE,AB=BH
∴正确的有①②③
故选B.
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似.相似三角形的对应边成比例,对应角相等.
 
6.如图,点A的坐标为(﹣1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为(  )
 
A.(0,0) B.( ,﹣ ) C.(﹣ ,﹣ ) D.(﹣ ,﹣ )
【考点】垂线段最短;坐标与图形性质.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB,此时线段AB最短,因为直线y=x的斜率为1,所以∠AOB=45°,△AOB为等腰直角三角形,过B作BC垂直x轴垂足为C,则OC=BC= .因为B在第三象限,所以点B的坐标为(﹣ ,﹣ ).
【解答】解:线段AB最短,说明AB此时为点A到y=x的距离.
过A点作垂直于直线y=x的垂线AB,
∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°,
∴△AOB为等腰直角三角形,
过B作BC垂直x轴,垂足为C,
则BC为中垂线,
则OC=BC= .作图可知B在x轴下方,y轴的左方.
∴点B的横坐标为负,纵坐标为负,
∴当线段AB最短时,点B的坐标为(﹣ ,﹣ ).
故选:C.
 
【点评】本题考查了动点坐标的确定,还考查了学生的动手操作能力,本题涉及到的知识点为:垂线段最短.
 
7.如图,AB为⊙O的直径,CA切⊙O于A,CB交⊙O于D,若CD=2,BD=6,则sinB=(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】切线的性质;圆周角定理;锐角三角函数的定义.
【分析】根据切割线定理CA2=CD•CB可得CA=4,然后在Rt△ABC中,利用CA=4,BC=8可以求出sinB.
【解答】解:如图,∵CA切⊙O于A,
∴CA2=CD•CB,
又CD=2,BD=6,
∴CA=4.
在Rt△ABC中,CA=4,BC=8,
故sinB= = .
故选A.
【点评】此题主要考查锐角三角函数的概念及切割线定理等知识.
 
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则tanA=(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】解直角三角形.
【分析】由勾股定理易得AC的值,进而根据三角函数的定义求解.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,
由勾股定理得:AC=12.
则tanA= = .
故选A.
【点评】本题要求学生熟练掌握三角函数的定义与解直角三角形的方法.
 
9.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= ,则tanB的值为(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】锐角三角函数的定义;互余两角三角函数的关系.
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解,也可以利用互为余角的三角函数关系式求解.
【解答】解:解法1:利用三角函数的定义及勾股定理求解.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴sinA= ,tanB= 和a2+b2=c2.
∵sinA= ,设a=3x,则c=5x,结合a2+b2=c2得b=4x.
∴tanB= .
故选A.

解法2:利用同角、互为余角的三角函数关系式求解.
∵A、B互为余角,
∴cosB=sin(90°﹣B)=sinA= .
又∵sin2B+cos2B=1,
∴sinB= = ,
∴tanB= = = .
故选A.
【点评】求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值,或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.
 
10.如图为了测量某建筑物AB的高度,在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进12m到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°,则建筑物AB的高度等于(  )
 
A.6( +1)m B.6( ﹣1)m C.12( +1)m D.12( ﹣1)m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD,CB;根据BC﹣DB=CD即可求出建筑物AB的高度.
【解答】解:根据题意可得:BC= = AB,BD= =AB.
∵CD=BC﹣BD=AB( ﹣1)=12,
∴AB=6( +1).
故选A.
【点评】本题通过考查仰角的定义,构造两个直角三角形求解.考查了学生读图构造关系的能力.
 
11.已知α为等边三角形的一个内角,则cosα等于(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】特殊角的三角函数值;等边三角形的性质.
【分析】先根据等边三角形的性质求出α的度数,再根据cos60°= 即可解答.
【解答】解:∵α为等边三角形的一个内角,
∴α=60°.
∴cosα=cos60°= .
故选A.
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值,比较简单.
 
12.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英同学离A地(  )
 
A.  m B.100m C.150m D.  m
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【专题】压轴题.
【分析】根据三角函数分别求AD,BD的长,从而得到CD的长.再利用勾股定理求AC的长即可.
【解答】解:AD=AB•sin60°=50 ;
BD=AB•cos60°=50,∴CD=150.
∴AC= =100 .
故选D.
【点评】解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
 
13.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【专题】压轴题;网格型.
【分析】找到∠ABC所在的直角三角形,利用勾股定理求得斜边长,进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可.
【解答】解:由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,
∴斜边为 =2 .
∴cos∠ABC= = .
故选B.
【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长,关键是理解余弦等于邻边比斜边.
 
二、填空题(共10小题,每小题5分,满分50分)
14.化简 =   .
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】运用特殊角三角函数值计算.
【解答】解:原式= = = .
【点评】此题比较简单,只要熟记特殊角的三角函数值即可.
 
15.如图,铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1:1.5,上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为 18 m.
 
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【专题】计算题.
【分析】过C作CF⊥AB,过D作CF⊥AB,根据CF的长和坡度即可求得AE、BF的值,根据AB=AE+EF+BF即可计算AB,即可解题.
【解答】解:如右图,过C作CF⊥AB,过D作DE⊥AB,
DE=CF=4m
坡度= = = ,
∴AE=BF=6m,
∴AB=AE+EF+FB=6+6+6(m)=18m.
故答案为 18.
 
【点评】本题考查了坡度的定义,考查了坡度在直角三角形中的运用,本题中求AE、BF的长是解题的关键.
 
16.如图,某公园入口处原有三阶台阶,每级台阶高为20cm,深为30cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡度设计为i=1:4.5,则AC的长为 210 cm.
 
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【专题】计算题.
【分析】如图所示:所有台阶高度和为BD的长,所有台阶深度和为AD的长,即BD=60m,AD=60m.然后根据坡度比解答.
【解答】解:由题可知BD=60cm,AD=60cm.
∵坡度!=BD:DC=1:4.5,
∴DC=270,
∴AC=DC﹣AD=270﹣60=210(cm).
 
【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题,要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题).
 
17.身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度,已知她与树之间的距离为6m,那么这棵树高大约为 5.1 m.(结果精确到0.1m,其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高)
 
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【专题】压轴题.
【分析】树高等于CD与DE的和,利用三角函数求CD长即可.
【解答】解:∵∠CAD=30°,AD=6.
∴CD=2 .
∴树的高=1.6+2 ≈5.1(米).
【点评】此题主要考查三角函数定义的应用.
 
18.如图,在正方形网格中,∠ABO的正切值是 1 .
 
【考点】锐角三角函数的定义.
【专题】网格型.
【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值.
【解答】解:利用三角函数的定义可知tan∠ABO= =1.
【点评】本题考查锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.
 
19.若△ABC中,∠C=90°,AC:BC=3:4,那么sinA=   .
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】由题意得,AC:BC:AC=3:4:5,即可求得sinA的值.
【解答】解:设AC=3x,BC=4x,根据勾股定理可得AB=5x,
∴sinA=BC:AB= .
【点评】本题考查锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边.
 
20.如图,有一个边长为5的正方形纸片ABCD,要将其剪拼成边长分别为a,b的两个小正方形,使得a2+b2=52.
①a,b的值可以是 3,4 (提示:答案不惟一)(写出一组即可);
②请你设计一种具有一般性的裁剪方法,在图中画出裁剪线,并拼接成两个小正方形,同时说明该裁剪方法具有一般性:
 图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点(点B,C除外).BE,CE的长分别为两个小正方形的边长 .
 
【考点】勾股定理的应用.
【专题】压轴题;开放型.
【分析】①使得a2+b2=52.由直角三角形勾股定理的很容易联想到a、b的值是3、4;
②要求设计一般性的剪裁,则先分割出来一个边长为4的正方形,再把剩下的部分分为两个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形,四个四边形拼成一个边长为3的正方形.
【解答】解:①要使得a2+b2=52.考虑到直角三角形的特殊情况,a,b的取值可以使3,4一组(答案不唯一);
②裁剪线及拼接方法如图所示:
 
按照上图所示剪裁,先剪一个边长是4的正方形;剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形,然后将这些拼接成边长为3的正方形即可.
 
【点评】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力.解决本题的关键是紧紧抓住a2+b2=52这个已知条件及剪拼过程面积不变的这个线索.
 
21.将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放,∠ACB与∠DCE完全重合,∠C=90°,∠A=45°,∠EDC=60°,AB=4 ,DE=6,则EB=   .
 
【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.
【专题】压轴题.
【分析】根据直角三角形的性质,求得BC,再求得EC,由此可以求出CE,再利用BE=CE﹣BC即可求出EB.
【解答】解:在Rt△ABC中,
∵AB=4 ,∠A=45°,
∴BC=4 × =4
在Rt△EDC中,
∵∠EDC=60°,DE=6,
∴CE=DE•sin∠EDC=6× =3
∴BE=CE﹣BC=3 ﹣4.
故填空答案:3 ﹣4.
【点评】本题利用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质求解.
 
22.比较大小:sin33°+cos33° > 1.(可用计算器辅助)
【考点】计算器—三角函数.
【专题】计算题.
【分析】先利用计算器求出33°的正弦值和余弦值,再计算两者之和,与1比较即可.
【解答】解:∵sin33°≈0.545,
cos33°≈0.839,
∴sin33°+cos33°≈0.545+0.839≈1.384>1.
故答案是>.
【点评】本题考查了计算器计算三角函数值,注意一般取到小数点后3位.
 
23.在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,如果AC=3,BC=4,那么sinA=   .
【考点】锐角三角函数的定义.
【专题】压轴题.
【分析】先由勾股定理求出AB,再利用锐角三角函数的定义求解.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,
∵AC=3,BC=4,
∴AB= = =5.
∴sinA= = .
【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.
 
三、解答题
24.(2009•枣庄)如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;
(3)连接OA,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN与△OAB相似?若存在,求出N点的坐标;若不存在,说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【专题】压轴题.
【分析】(1)已知顶点坐标,设抛物线解析式的顶点式y=a(x﹣2)2+1,把O(0,0)代入即可;
(2)∵△MOB与△AOB公共底边OB,最高点A的纵坐标为1,只需要点M的纵坐标为﹣3即可,将y=﹣3,代入解析式可求M点坐标;
(3)由已知△OAB为等腰三角形,点N在抛物线上,只可能OB=BN,即要求∠AOB=∠BON,A、A'要关于x轴对称,通过计算,不存在.
【解答】解:(1)由题意,可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1,
∵抛物线过原点,
∴a(0﹣2)2+1=0,a=﹣ .
∴抛物线的解析式为y=﹣ (x﹣2)2+1=﹣ x2+x.
(2)△AOB和所求△MOB同底不等高,且S△MOB=3S△AOB,
∴△MOB的高是△AOB高的3倍,即M点的纵坐标是﹣3.
∴﹣3=﹣ x2+x,即x2﹣4x﹣12=0.
解之,得x1=6,x2=﹣2.
∴满足条件的点有两个:M1(6,﹣3),M2(﹣2,﹣3)

(3)不存在.
由抛物线的对称性,知AO=AB,∠AOB=∠ABO.
若△OBN与△OAB相似,必有∠BON=∠BOA=∠BNO,
即OB平分∠AON,
设ON交抛物线的对称轴于A'点,则A、A′关于x轴对称,
∴A'(2,﹣1).
∴直线ON的解析式为y=﹣ x.
由﹣ x=﹣ x2+x,得x1=0,x2=6.
∴N(6,﹣3).
过N作NE⊥x轴,垂足为E.在Rt△BEN中,BE=2,NE=3,
∴NB= = .
又∵OB=4,
∴NB≠OB,∠BON≠∠BNO,△OBN与△OAB不相似.
同理,在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点.
所以在该抛物线上不存在点N,使△OBN与△OAB相似.
 
【点评】本题考查了抛物线解析式的求法,坐标系里的面积问题,探求相似三角形的存在性问题,具有一定的综合性.
 
25.计算: .
【考点】特殊角的三角函数值;绝对值;零指数幂;负整数指数幂;二次根式的性质与化简.
【专题】计算题.
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:原式= =5.
【点评】本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.
解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
 
26.如图,小明站在A处放风筝,风筝飞到C处时的线长为20米,这时测得∠CBD=60°,若牵引底端B离地面1.5米,求此时风筝离地面高度.(计算结果精确到0.1米, ≈1.732)
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】由题可知,在直角三角形中,知道已知角以及斜边,求对边,可以用正弦值进行解答.
【解答】解:在Rt△BCD中,CD=BC×sin60°=20× =10
又DE=AB=1.5,
∴CE=CD+DE=CD+AB=10 +1.5≈18.8
答:此时风筝离地面的高度约是18.8米.
【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用.
 
27.计算: .
【考点】实数的运算.
【分析】按照实数的运算法则依次计算.
【解答】解:原式=
=2 .
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握零指数幂、二次根式、乘方、绝对值等考点的运算.注意(﹣1)2010=1,|﹣ |= ,(π﹣2010)0=1.
 
28.为测量大楼CD的高度,某人站在A处测得楼顶的仰角为45°,前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°,求大楼CD的高度.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】此题可利用两仰角的正切值及CD的高度表示AB,即AB= ﹣ ,求得CD即可.
【解答】解:如图,
依题意得∠CBD=60°,∠CAD=45°,AB=20m,
设CD=xm,则AB= ﹣ ,
20=x﹣ x,解得:x=(30+10 )m,
答:大楼CD的高为(30+10 )m.
 
【点评】本题考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
 
29.如图,为测量某塔AB的高度,在离该塔底部20米处目测其顶A,仰角为60°,目高1.5米,试求该塔的高度( ≈1.7).
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【专题】应用题
【分析】本题是一个直角梯形的问题.作CD⊥AB于点D,把求AB的问题转化求AD的长,从而在△ACD中利用三角函数求解.
【解答】解:如图,CD=20,∠ACD=60°.
在Rt△ACD中,tan∠ACD= ,
∴ = ,
∴AD=20 ≈34.
又∵BD=1.5,
∴塔高AB=34+1.5=35.5(米).
【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题.
 
30.九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动,目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α.
 
(1)如图1,小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上,使得BF与BE的长度相等,如果测量得到∠EFB=36°,那么∠α的度数是 72° ;
(2)如图2,小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁,量出竿长1米时离地面的高度为0.6米,请你求出护坡石坝的垂直高度AH;
(3)全班总结了各组的方法后,设计了如图3方案:在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD,杆子与地面垂直,测得杆子的影子长为b米,点P到护坡石坝底部B的距离为c米,如果利用(1)得到的结论,请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH.
(sin72°≈0.95,cos72°≈0.3,tan72°≈3)
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【专题】压轴题;方案型.
【分析】(1)BF与BE的长度相等,则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和,得到∠α的度数.
(2)由于竿长1米时离地面的高度为0.6米,则有AG:AH=1:0.6,可求得AH的长.
(3)由题意知,△CPD∽△PHA,根据相似三角形的对应边相等可求得AH的长.
【解答】解:(1)∵BF=BE.
∴∠BFE=∠FEB.
∴∠α=2∠EFB=72°.

(2)∵竿长1米时离地面的高度为0.6米,MN∥AH.
∴AG:AH=1:0.6
∴AH=3米.

(3)在Rt△ABH中,BH=AH÷tan72°=AH÷3= .
由题意知,△CPD∽△PHA.
∴DP:CP=AH:PH=AH:(PB+BH)=AH:(PB+ ).
即:a:b=AH:(c+ ).
解得:AH= .
【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和;平行线的性质,正切的概念,相似三角形的性质等知识点求解.
 
31.如图,某中学科学楼高15米,计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼,第一层是高2.5米的自行车场,第二层起为宿舍.已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低,此时太阳光线AB的入射角∠ABD=55°,为使第二层起能照到阳光,两楼间距EF至少是多少米(精确到0.1米).
(参考数据:tan55°=1.4281,tan35°=0.7002).
 
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【专题】应用题
【分析】易求出AC长,由∠CAB=∠CBD=55°,然后利用55°的正切值就能求出BC,求EF长求出BC长即可.
【解答】解:由矩形BCEF得到CE=BF,BC=EF,(2分)
得到∠CAB=55°,(2分)
得到BC=ACtan55°,(2分)
BC=17.9米.(1分)
答:两楼间距至少17.9米.
【点评】本题考查锐角三角函数的应用.需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法.
 
32.如图,某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆,测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°,在B地测得C地的仰角为60度.已知C地比A地高200米,电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米)
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【专题】计算题.
【分析】首先分析图形:根据题意构造直角三角形;本题涉及到两个直角三角形,应利用其公共边构造方程关系式,进而可解即可求出答案.
【解答】解:过B点分别作BE⊥CD、BF⊥AD,垂足分别为E、F.
设BC=xm.
∵∠CBE=60°,
∴BE= x,CE= x.
∵CD=200,
∴DE=200﹣ x.
∴BF=DE=200﹣ x,DF=BE= x.
∵∠CAD=45°,
∴AD=CD=200.
∴AF=200﹣ x.
在Rt△ABF中,tan30°= ,
解得x=200( ﹣1)≈146.5(m).
答:电缆BC至少146.5米.
 
【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
 
33.如图所示,把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转,使得点C与AB的延长线上的点D重合,已知BC=6.
(1)三角尺旋转了多少度?连接CD,试判断△BCD的形状;
(2)求AD的长;
(3)连接CE,试猜想线段AC与CE的大小关系,并证明你的结论.
 
【考点】旋转的性质.
【专题】探究型.
【分析】(1)由直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转,点C与AB的延长线上的点D重合,根据旋转的性质得BD=BC,∠DBC等于旋转角,且∠DBC=180°﹣60°=120°,即可判断所三角尺旋转的度数,△BCD的形状;
(2)由三角尺ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,得到AB=2BC=2×6=12,而BD=BC,即可得到AD=AB+BD的长;
(3)连接CE,△BCD为等腰三角形,由∠CBE=180°﹣(∠ABC+∠EBD)=60°=∠DBE,根据等腰三角形的性质得到BE垂直平分底边CD,则CE=DE,即可得到AC=CE.
【解答】解:(1)∵直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转,点C与AB的延长线上的点D重合,
∴BD=BC,∠DBC等于旋转角,且∠DBC=180°﹣60°=120°,
∴三角尺旋转了120度,△BCD为等腰三角形;

(2)∵三角尺ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC=2×6=12,
∵BD=BC,A、B、D三点在一直线上,
∴AD=AB+BD=12+6=18;

(3)如图,连接CE,则AC=CE.
证明如下:
∵BC=BD,
即△BCD为等腰三角形,
又∵∠EBD=∠ABC=60°,
而点A、B、D在一条直线上,
∴∠CBE=180°﹣(∠ABC+∠EBD)=60°=∠DBE,
即BE平分等腰△BCD的顶角,
∴BE垂直平分底边CD,
∴CE=DE,
而DE=AC
所以AC=CE.
 
【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.
 
34.计算:
【考点】实数的运算.
【分析】本题涉及零指数幂、开立方、特殊角的三角函数值、绝对值四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:原式=
=3+1﹣2﹣1
=1.
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
 
35.(2009•朝阳区二模)计算:(﹣2)3+( )﹣1×cos60°﹣(1﹣ )0.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【专题】计算题.
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则计算.
【解答】解:原式=﹣8+2× ﹣1=﹣8.
【点评】本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
 
36.计算:﹣22+( )0+2sin30°.
【考点】特殊角的三角函数值;有理数的乘方;零指数幂.
【专题】计算题.
【分析】按照实数的运算法则依次计算,注意:﹣22=﹣4,( )0=1.
【解答】解:原式=﹣4+1+2× =﹣2.
【点评】本题需注意的知识点是:乘方的相反数的符号问题.任何不等于0的数的0次幂是1.
 
37.又到了一年中的春游季节,某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”.下面是两位同学的一段对话:
甲:我站在此处看塔顶仰角为60°;
乙:我站在此处看塔顶仰角为30°;
甲:我们的身高都是1.5m;
乙:我们相距20m.
请你根据两位同学的对话,计算白塔的高度.(精确到1米)
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【专题】计算题.
【分析】根据三角形外角和定理,可求得∠CAB=∠ACB,等角对等边,所以有AB=BC=20.在Rt△CBD中,根据60°角的正弦值可求出CD,再加上同学自身的身高1.5米即可解答.
【解答】解:由题意,知:
∠CAB=30°,∠CBD=60°,AB=20m,AM=BN=DP=1.5m;
在△ABC中,∠CBD=∠ACB+∠CAB,
∴∠ACB=60°﹣30°=30°;
∴∠ACB=∠CAB;
∴BC=AB=20m;
在Rt△CBD中,BC=20m,∠CBD=60°,
sin∠CBD= ,即sin60°= ;
∴CD=20sin60°=20×  m;
∴CP=CD+DP=10 +1.5≈19m.
答:白塔的高度约为19米.
 
【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
 
38.如图,有两棵树,一棵高14m,另一棵高10m,两树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了多少米?
 
【考点】勾股定理的应用.
【专题】计算题;应用题.
【分析】根据树高可以计算两棵树的高度的差值AC,由题意知BC=5m,在直角△ABC中,AB为斜边,已知AC,BC根据勾股定理即可计算AB.
【解答】解:设从一棵树的树梢到另一棵树的树梢要飞行x m,
则在直角△ABC中,AC=14﹣10m=4m,且AB为斜边,
∴x2=42+52=41,x≈6.4m.
答:鸟至少飞 m≈6.4m.
 
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用,本题中找出直角△ABC,并且根据勾股定理正确的计算AB是解题的关键.
 
39.如图,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=4m,坝高AE=6 m,斜坡AB的坡比i=1:2,∠C=60°,求斜坡AB、CD的长.
 
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【专题】应用题.
【分析】本题中AB的长可以在直角三角形ABE中求出,已知AB的坡度,已知AE的长度,那么AB就不难求出了,求CD的长可通过构造直角三角形来实现,过D作DF⊥BC于F,直角三角形DFC中,已知∠C的度数,又知道DF的长(DF=AE),CD的长就能求出了.
【解答】解:∵斜坡AB的坡比i=1:2,
∴AE:BE=1:2
又AE=6m
∴BE=12m
∴AB= (m)
作DF⊥BC于F,则得矩形AEFD,有DF=AE=6m
∵∠C=60°
∴CD= =4 (m)
答:斜坡AB、CD的长分别是 m,4 m.
 
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形中,使问题解决.
 
40.如图,为了测量电线杆的高度AB,在离电线杆25米的D处,用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=22°,求电线杆AB的高.(精确到0.1米)参考数据:sin22°=0.3746,cos22°=0.9272,tan22°=0.4040,cot22°=2.4751.
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据CE和α的正切值可以求得AE的长度,根据AB=AE+EB即可求得AB的长度,即可解题.
【解答】解:在中Rt△ACE,
∴AE=CE•tanα,
=BD•tanα,
=25×tan22°,
≈10.10米,
∴AB=AE+EB=AE+CD=10.10+1.20=11.3(米).
答:电线杆的高度约为11.3米.
【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用,本题中正确计算AE的值是解题的关键.
 
41.兰州市城市规划期间,欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图),已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸,即BD=14米,该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2,岸高CF为2米,在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°,D、E之间是宽2米的人行道,请你通过计算说明在拆除电线杆AB时,为确保安全,是否将此人行道封上?(在地面上以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域)
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【专题】应用题;压轴题.
【分析】根据题意分析图形可得:在Rt△CDF中,由CF=2,tan∠CDF=2,可求得DE,进而得到BE的长.解Rt△AGC可得BE的值,通过比较BE、AB的大小即可求出答案.
【解答】解:由tan∠CDF= =2,CF=2米,
∴DF=1米,BG=2米;
∵BD=14米,
∴BF=GC=15米;
在Rt△AGC中,由tan30°= ,
∴AG=15× = ≈5×1.732=8.660米;
∴AB=8.660+2=10.66米;
而BE=BD﹣ED=12米,
∴BE>AB;
因此不需要封人行道.
【点评】本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.
 
42.课外实践活动中,数学老师带领学生测量学校旗杆的高度.如图,在A处用测角仪(离地高度为1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15°,朝旗杆方向前进23米到B处,再次测得旗杆顶端的仰角为30°,求旗杆EG的高度.
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【专题】计算题.
【分析】首先分析图形:根据题意构造直角三角形;本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造三角关系,进而可求出答案.
【解答】解:∵∠ECD=15°,∠EDF=30°,
∴∠CED=15°,
∴∠CED=∠ECD.
所以DC=DE=23米.
在Rt△EDF中,
由sin∠EDF= ,
得EF=DE•sin∠EDF=23•sin30°=23× =11.5(米),
又FG=CA=1.5米,
因此EG=EF+FG=11.5+1.5=13(米),
答:旗杆EG的高度为13米.
【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
 
43.如图所示,张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼,风平浪静时,鱼漂露出水面部分AB=6cm,微风吹来,假设铅垂P不动,鱼漂移动了一段距离BC,且顶端恰好与水面齐平,(即PA=PC)水平l与OC的夹角α为8°(点A在OC上),求铅锤P处的水深h.(参考数据:sin8°≈ ,cos8°≈ ,tan8°≈ )
 
【考点】解直角三角形的应用.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】在Rt△ABC中,已知∠ACB=α=8°,AB=6,根据三角函数就可以求出BC的长;在直角△ABC中,根据已知条件,利用勾股定理就可以求出水深h.
【解答】解:∵l∥BC,∴∠ACB=α=8°,
在Rt△ABC中,∵tanα= ,
∴BC= = =42(cm),
根据题意,得h2+422=(h+6)2,
∴h=144(cm).
答:铅锤P处的水深约为144cm.
【点评】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力,又让学生感受到生活处处有数学,数学在生产生活中有着广泛的作用.

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