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章 来源莲山课件 ww w.
5 Y k j.CoM

山东省临沂市郯城县2017年中考数学一模试卷(解析版)
 
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)
1.实数﹣2015的绝对值是(  )
A.2015 B.﹣2015 C.±2015 D.
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.
【解答】解:|﹣2015|=2015,
故选:A.
【点评】本题考查了绝对值,解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
 
2.移动互联网已经全面进入人们的日常生活.截至2015年3月,全国4G用户总数达到1.62亿,其中1.62亿用科学记数法表示为(  )
A.1.62×104 B.1.62×106 C.1.62×108 D.0.162×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将1.62亿用科学记数法表示为1.62×108.
故选C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
 
3.下列式子中正确的是(  )
A.( )﹣2=﹣9 B.(﹣2)3=﹣6 C.  =﹣2 D.(﹣3)0=1
【分析】根据二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂逐一运算,判断即可.
【解答】解:A、 =9,故本项错误;
B、(﹣2)3=﹣8,故本项错误;
C、 ,故本项错误;
D、(﹣3)0=1,故本项正确,
故选:D.
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂,熟练掌握运算法则是解题的关键.
 
4.将直尺和直角三角板按如图方式摆放,已知∠1=30°,则∠2的大小是(  )
 
A.30° B.45° C.60° D.65°
【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠1=30°,
∴∠3=60°.
∵直尺的两边互相平行,
∴∠2=∠3=60°.
故选C.
 
【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等.
 
5.已知x= ,y= ,则x2+xy+y2的值为(  )
A.2 B.4 C.5 D.7
【分析】先把x、y的值代入原式,再根据二次根式的性质把原式进行化简即可.
【解答】解:原式=(x+y)2﹣xy
=( + )2﹣ ×
=( )2﹣
=5﹣1
=4.
故选B.
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值,熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键.
 
6.不等式组 的整数解的个数是(  )
A.3 B.5 C.7 D.无数个
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求其整数解即可.
【解答】解: ,
解①得:x>﹣2,
解②得:x≤3.
则不等式组的解集是:﹣2<x≤3.
则整数解是:﹣1,0,1,2,3共5个.
故选B.
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
 
7.化简 的结果是(  )
A.x+1 B.  C.x﹣1 D.
【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【解答】解:原式= ﹣ = = =x+1.
故选A
【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
8.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形,则这个圆锥的底面半径长是(  )
A.6cm B.9cm C.12cm D.18cm
【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长,除以2π即为圆锥的底面半径.
【解答】解:圆锥的弧长为:  =24π,
∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12,
故选C.
【点评】考查了圆锥的计算,用到的知识点为:圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长;
 
9.如图,已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段.在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为 的线段的概率为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长,进而利用概率公式求出即可.
【解答】解:连接AF,EF,AE,过点F作FN⊥AE于点N,
∵点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,
∴AF=EF=1,∠AFE=120°,
∴∠FAE=30°,
∴AN= ,
∴AE= ,同理可得:AC= ,
故从任意一点,连接两点所得的所有线段一共有15种,任取一条线段,取到长度为 的线段有6种情况,
则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为 的线段的概率为: .
故选:B.
 
【点评】此题主要考查了正多边形和圆,正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键.
 
10.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】证明BE:EC=1:3,进而证明BE:BC=1:4;证明△DOE∽△AOC,得到 = ,借助相似三角形的性质即可解决问题.
【解答】解:∵S△BDE:S△CDE=1:3,
∴BE:EC=1:3;
∴BE:BC=1:4;
∵DE∥AC,
∴△DOE∽△AOC,
∴ = ,
∴S△DOE:S△AOC= = ,
故选D.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答.
 
11.如图,正方形ABCD位于第一象限,边长为3,点A在直线y=x上,点A的横坐标为1,正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴.若双曲线y= 与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围为(  )
 
A.1<k<9 B.2≤k≤34 C.1≤k≤16 D.4≤k<16
【分析】根据题意求出点A的坐标,根据正方形的性质求出点C的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
【解答】解:∵点A在直线y=x上,横坐标为1,
∴点A的坐标为(1,1),
∵正方形ABCD的边长为3,
∴点C的坐标为(4,4),
当双曲线y= 经过点A时,k=1×1=1,
当双曲线y= 经过点C时,k=4×4=16,
∴双曲线y= 与正方形ABCD公共点,则k的取值范围是1≤k≤16,
故选C.
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题以及正方形的性质,掌握反比例函数图象上点的坐标特征、以及正方形的性质是解题的关键.
 
12.如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为(  )
 
A.80° B.100° C.110° D.130°
【分析】连接OC,然后根据等边对等角可得:∠OCB=∠OBC=40°,然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°,然后根据周角的定义可求:∠1=260°,然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数.
【解答】解:连接OC,如图所示,
 
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=40°,
∴∠BOC=100°,
∵∠1+∠BOC=360°,
∴∠1=260°,
∵∠A= ∠1,
∴∠A=130°.
故选:D.
【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是:熟记在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
 
13.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B′F的长为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,然后求得△ECF是等腰直角三角形,进而求得∠B′FD=90°,CE=EF= ,ED=AE ,从而求得B′D=1,DF= ,在Rt△B′DF中,由勾股定理即可求得B′F的长.
【解答】解:根据折叠的性质可知CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,
∴B′D=4﹣3=1,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECF=45°,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴EF=CE,∠EFC=45°,
∴∠BFC=∠B′FC=135°,
∴∠B′FD=90°,
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE,
∴AC•BC=AB•CE,
∵根据勾股定理求得AB=5,
∴CE= ,
∴EF= ,ED=AE= = ,
∴DF=EF﹣ED= ,
∴B′F= = .
故选:B.
【点评】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等,根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键.
 
14.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;
②abc>0;
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;
④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);
⑤当1<x<4时,有y2<y1,
其中正确的是(  )
 
A.①②③ B.①③④ C.①③⑤ D.②④⑤
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断;由抛物线开口方向得到a<0,由对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断;根据顶点坐标对③进行判断;根据抛物线的对称性对④进行判断;根据函数图象得当1<x<4时,一次函数图象在抛物线下方,则可对⑤进行判断.
【解答】解:∵抛物线的顶点坐标A(1,3),
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,
∴2a+b=0,所以①正确;
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴b=﹣2a>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以②错误;
∵抛物线的顶点坐标A(1,3),
∴x=1时,二次函数有最大值,
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,所以③正确;
∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)
而抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2,0),所以④错误;
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3),B点(4,0)
∴当1<x<4时,y2<y1,所以⑤正确.
故选:C.
【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.分解因式:5x3﹣10x2+5x= 5x(x﹣1)2 .
【分析】先提取公因式5x,再根据完全平方公式进行二次分解.
【解答】解:5x3﹣10x2+5x
=5x(x2﹣2x+1)
=5x(x﹣1)2.
故答案为:5x(x﹣1)2.
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底.
 
16.分式方程 的解为 x=4 .
【分析】原式变形后,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:1﹣x=﹣1﹣2x+6,
解得:x=4,
经检验x=4是分式方程的解.
【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
 
17.如图,以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,则下列结论::①△EBF≌△DFC;②四边形AEFD为平行四边形;③当AB=AC,∠BAC=120°时,四边形AEFD是正方形.其中正确的结论是 ①② .(请写出正确结论的序号).
 
【分析】利用SAS得到△EBF与△DFC全等,利用全等三角形对应边相等得到EF=AC,再由△ADC为等边三角形得到三边相等,等量代换得到EF=AD,AE=DF,利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形,若AB=AC,∠BAC=120°,只能得到AEFD为菱形,不能为正方形,即可得到正确的选项.
【解答】解:∵△ABE、△BCF为等边三角形,
∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°,
∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF,即∠CBA=∠FBE,
在△ABC和△EBF中,
 ,
∴△ABC≌△EBF(SAS),
∴EF=AC,
又∵△ADC为等边三角形,
∴CD=AD=AC,
∴EF=AD=DC,
同理可得△ABC≌△DFC,
∴DF=AB=AE=DF,
∴四边形AEFD是平行四边形,选项②正确;
∴∠FEA=∠ADF,
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC,即∠FEB=∠CDF,
在△FEB和△CDF中,
 .
∴△FEB≌△CDF(SAS),选项①正确;
若AB=AC,∠BAC=120°,则有AE=AD,∠EAD=120°,此时AEFD为菱形,选项③错误,
故答案为:①②.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定,以及正方形的判定,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
 
18.如图,一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为   .
 
【分析】将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上,此时AB最短,根据三角形MCB与三角形ACN相似,由相似得比例得到MC=2NC,求出CN的长,利用勾股定理求出AC的长即可.
【解答】解:将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,
∵△BCM∽△ACN,
∴ = ,即 = =2,即MC=2NC,
∴CN= MN= ,
在Rt△ACN中,根据勾股定理得:AC= = ,
故答案为: .
 
【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,勾股定理,熟练求出CN的长是解本题的关键.
 
19.读一读:式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于式子比较长,书写不方便,为了简便起见,我们将其表示为 ,这里“∑”是求和符号,通过对以上材料的阅读,计算 =   .
【分析】根据求和公式写出分数的和的形式,根据分数的性质计算即可.
【解答】解:由题意得,  = + + +…+
=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣
= ,
故答案为: .
【点评】本题考查的是数字的变化类问题,根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键.
 
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.(7分)计算:﹣32÷ × +| ﹣3|
【分析】分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可.
【解答】解:﹣32÷ × +| ﹣3|
=﹣9× × +3﹣
=﹣ .
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识,正确化简各数是解题关键.
 
21.(7分)亚健康是时下社会热门话题,进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式,为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况,随机抽样调查了100名涌中学生,根据调查结果得到如图所示的统计图表.
类别 时间t(小时) 人数
A t≤0.5 5
B 0.5<t≤1 20
C 1<t≤1.5 a
D 1.5<t≤2 30
E t>2 10
请根据图表信息解答下列问题:
(1)a= 35 ;
(2)补全条形统计图;
(3)据了解该市大约有30万名初中学生,请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数.
 
【分析】(1)用样本总数100减去A、B、D、E类的人数即可求出a的值;
(2)由(1)中所求a的值得到C类别的人数,即可补全条形统计图;
(3)用30万乘以样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数所占的百分比即可.
【解答】解:(1)a=100﹣5﹣20﹣30﹣10=35;
(2)补全条形统计图如图所示:
 
(3)30× =22.5(万人).
答:估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人.
故答案为:(1)35.
【点评】本题考查的是条形统计图和频数分布表的综合运用.读懂统计图表,从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.也考查了中位数的定义以及利用样本估计总体.
 
22.(7分)如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、DC边上的点,且AE=CF,
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)若∠DEB=90°,求证:四边形DEBF是矩形.
 
【分析】(1)由在▱ABCD中,AE=CF,可利用SAS判定△ADE≌△CBF.
(2)由在▱ABCD中,且AE=CF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证得四边形DEBF是平行四边形,又由∠DEB=90°,可证得四边形DEBF是矩形.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠A=∠C,
在△ADE和△CBF中,
 ,
∴△ADE≌△CBF(SAS).

(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵AE=CF,
∴BE=DF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∵∠DEB=90°,
∴四边形DEBF是矩形.
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质.注意有一个角是直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键.
 
23.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)
 
【分析】(1)连接OD,根据平行线判定推出OD∥AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可;
(2)①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值;②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可.
【解答】解:(1)直线BC与⊙O相切;
连结OD,∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,
∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠C=90°,
即OD⊥BC.
又∵直线BC过半径OD的外端,
∴直线BC与⊙O相切.
(2)设OA=OD=r,在Rt△BDO中,∠B=30°,
∴OB=2r,
在Rt△ACB中,∠B=30°,
∴AB=2AC=6,
∴3r=6,解得r=2.
(3)在Rt△ACB中,∠B=30°,
∴∠BOD=60°.
∴ .
∵∠B=30°,OD⊥BC,
∴OB=2OD,
∴AB=3OD,
∵AB=2AC=6,
∴OD=2,BD=2
S△BOD= ×OD•BD=2 ,
∴所求图形面积为 .
 
【点评】本题考查了切线的判定,含有30°角的直角三角形的性质,扇形的面积等知识点的应用,主要考查学生的推理能力.
 
24.(9分)我市某风景区门票价格如图所示,黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队,计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩.两团队游客人数之和为120人,乙团队人数不超过50人,设甲团队人数为x人.如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为W元.
(1)求W关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若甲团队人数不超过100人,请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱;
(3)“五一”小黄金周之后,该风景区对门票价格作了如下调整:人数不超过50人时,门票价格不变;人数超过50人但不超过100人时,每张门票降价a元;人数超过100人时,每张门票降价2a元,在(2)的条件下,若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩,甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元,求a的值.
 
【分析】(1)根据甲团队人数为x人,乙团队人数不超过50人,得到x≥70,分两种情况:①当70≤x≤100时,W=70x+80(120﹣x)=﹣10x+9600,②当100<x<120时,W=60x+80(120﹣x)=﹣20x+9600,即可解答;
(2)根据甲团队人数不超过100人,所以x≤100,由W=﹣10x+9600,根据70≤x≤100,利用一次函数的性质,当x=70时,W最大=8900(元),两团联合购票需120×60=7200(元),即可解答;
(3)根据每张门票降价a元,可得W=(70﹣a)x+80(120﹣x)=﹣(a+10)x+9600,利用一次函数的性质,x=70时,W最大=﹣70a+8900(元),而两团联合购票需120(60﹣2a)=7200﹣240a(元),所以﹣70a+8900﹣(7200﹣240a)=3400,即可解答.
【解答】解:(1)∵甲团队人数为x人,乙团队人数不超过50人,
∴120﹣x≤50,
∴x≥70,
①当70≤x≤100时,W=70x+80(120﹣x)=﹣10x+9600,
②当100<x<120时,W=60x+80(120﹣x)=﹣20x+9600,
综上所述,W=
(2)∵甲团队人数不超过100人,
∴x≤100,
∴W=﹣10x+9600,
∵70≤x≤100,
∴x=70时,W最大=8900(元),
两团联合购票需120×60=7200(元),
∴最多可节约8900﹣7200=1700(元).
(3)∵x≤100,
∴W=(70﹣a)x+80(120﹣x)=﹣(a+10)x+9600,
∴x=70时,W最大=﹣70a+8900(元),
两团联合购票需120(60﹣2a)=7200﹣240a(元),
∵﹣70a+8900﹣(7200﹣240a)=3400,
解得:a=10.
【点评】本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是根据题意,列出函数解析式,利用一次函数的性质求得最大值.注意确定x的取值范围.
 
25.(11分)在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC= ,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C.
(1)如图①,当点B1在线段BA延长线上时.①求证:BB1∥CA1;②求△AB1C的面积;
(2)如图②,点E是BC边的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差.
 
【分析】(1)①根据旋转的性质和平行线的性质证明;
②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E,根据三角函数和三角形的面积公式解答;
(2)过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,得出最大和最小值解答即可.
【解答】解:(1)①证明:∵AB=AC,B1C=BC,
∴∠AB1C=∠B,∠B=∠ACB,
∵∠AB1C=∠ACB(旋转角相等),
∴∠B1CA1=∠AB1C,
∴BB1∥CA1;
②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E,如图①:
 
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,
∵cos∠ABC= ,AB=5,
∴BF=3,
∴BC=6,
∴B1C=BC=6,
∵CE⊥AB,
∴BE=B1E= ,
∴BB1= ,CE= ,
∴AB1= ,
∴△AB1C的面积为: ;

(2)如图2,过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值,


此时在Rt△BFC中,CF= ,
∴CF1= ,
∴EF1的最小值为 ;
如图,以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,EF1有最大值;
此时EF1=EC+CF1=3+6=9,
∴线段EF1的最大值与最小值的差为 .
【点评】此题考查几何变换问题,关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答.
 
26.(13分)已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D.
(1)如图1,若该抛物线经过原点O,且a=﹣ .
①求点D的坐标及该抛物线的解析式;
②连结CD,问:在抛物线上是否存在点P,使得∠POB与∠BCD互余?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(2)如图2,若该抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1,1),点Q在抛物线上,且满足∠QOB与∠BCD互余.若符合条件的Q点的个数是4个,请直接写出a的取值范围.
 
【分析】(1)①过点D作DF⊥x轴于点F,先通过三角形全等求得D的坐标,把D的坐标和a=﹣ ,c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式;
②先证得CD∥x轴,进而求得要使得∠POB与∠BCD互余,则必须∠POB=∠BAO,设P的坐标为(x,﹣  x2+ x),分两种情况讨论即可求得;
(2)若符合条件的Q点的个数是4个,则当a<0时,抛物线交于y轴的负半轴,当a>0时,最小值得<﹣1,解不等式即可求得.
【解答】解:(1)①过点D作DF⊥x轴于点F,如图1,
∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
在△AOB和△BFD中,
 ,
∴△AOB≌△BFD(AAS)
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D的坐标是(3,1),
根据题意,得a=﹣ ,c=0,且a×32+b×3+c=1,
∴b= ,
∴该抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x;
②∵点A(0,2),B(1,0),点C为线段AB的中点,
∴C( ,1),
∵C、D两点的纵坐标都为1,
∴CD∥x轴,
∴∠BCD=∠ABO,
∴∠BAO与∠BCD互余,
要使得∠POB与∠BCD互余,则必须∠POB=∠BAO,
设P的坐标为(x,﹣  x2+ x),
(Ⅰ)当P在x轴的上方时,过P作PG⊥x轴于点G,如图2,
则tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,
∴ = ,解得x1=0(舍去),x2= ,
∴﹣ x2+ x= ,
∴P点的坐标为( , );

(Ⅱ)当P在x轴的下方时,过P作PG⊥x轴于点G,如图3
则tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,
∴ = ,解得x1=0(舍去),x2= ,
∴﹣ x2+ x=﹣ ,
∴P点的坐标为( ,﹣ );
综上,在抛物线上是否存在点P( , )或( ,﹣ ),使得∠POB与∠BCD互余.

(2)如图3,∵D(3,1),E(1,1),
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D,代入可得 ,解得 ,所以y=ax2﹣4ax+3a+1.
分两种情况:
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时,若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个,则点Q在x轴的上、下方各有两个.
(i)当点Q在x轴的下方时,直线OQ与抛物线有两个交点,满足条件的Q有2个;
(ii)当点Q在x轴的上方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上,与y轴的交点在y轴的负半轴,所以3a+1<0,解得a<﹣ ;

②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时,点Q在x轴的上、下方各有两个,
(i)当点Q在x轴的上方时,直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q有两个;
(ii)当点Q在x轴的下方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q才两个.
根据(2)可知,要使得∠QOB与∠BCD互余,则必须∠QOB=∠BAO,
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ,此时直线OQ的斜率为﹣ ,则直线OQ的解析式为y=﹣ x,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个不相等的实数根,所以△=(﹣4a+ )2﹣4a(3a+1)>0,即4a2﹣8a+ >0,解得a> (a< 舍去)
综上所示,a的取值范围为a<﹣ 或a> .
 

【点评】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,正切函数,最小值等,分类讨论的思想是本题的关键.
 


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