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文 章来
源莲山 课件 w w
w.5 Y k J.Co m 专题5.3 平面向量的数量积
一、填空题
1.已知向量a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3),若a+2b与c垂直,则k=
【解析】因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)•c=0,即a•c+2b•c=0,所以3k+3+23=0,解得k=-3.
2.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, =(1,-2), =(2,1),则 • =
【解析】由四边形ABCD是平行四边形,知 = + =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),故 • =(2,1)•(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.
3.若平面向量a=(-1,2)与b的夹角是180°,且|b|=35,则b的坐标为
【解析】由题意设b=λa=(-λ,2λ)(λ<0),而|b|=35,则-λ2+2λ2=35,所以λ=-3,b=(3,-6),
4.(2016•山东高考)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=13,若n⊥(t m+n),则实数t的值为
 
5.(2016•天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 • 的值为
 
【解析】如图所示, = + .又D,E分别为AB,BC的中点,且DE=2EF,所以 =12 , =12 +14 =34 ,所以 =12 +34 .又 = - ,则 • =12 +34  •( - )=12 • -12 2+34 2-34 • =34 2-12 2-14 • .又| |=| |=1,∠BAC=60°,故 • =34-12-14×1×1×12=18.
6.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足 =λ , =(1-λ) ,λ∈R,若 • =-32,则λ=
 
7.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a•b)•b,则|c|=________.
【解析】由题意可得a•b=2×1+4×(-2)=-6,∴c=a-(a•b)•b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),∴|c|=82+-82=82. 
8.已知向量a,b满足(2a-b)•(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,则a与b的夹角为________.
【解析】∵(2a-b)•(a+b)=6,∴2a2+a•b-b2=6,又|a|=2,|b|=1,∴a•b=-1,∴cos〈a,b〉=a•b|a||b|=-12,又〈a,b〉∈[0,π],∴a与b的夹角为2π3.
9.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是________.
【解析】a与b的夹角为锐角,则a•b>0且a与b不共线,则3λ2+4λ>0,2λ-6λ2≠0,解得λ<-43或0<λ<13或λ>13,所以λ的取值范围是-∞,-43∪0,13∪13,+∞.
10.如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则 • 的最大值为________.
 
【解析】设 =λ +μ ,因为N在菱形ABCD内,所以0≤λ≤1,0≤μ≤1. = +12 =12 + .所以 • =12  +  •(λ +μ )=λ2 2+λ+μ2 • +μ 2=λ2×4+λ+μ2×2×2×12+4μ=4λ+5μ.所以0≤ • ≤9,所以当λ=μ=1时, • 有最大值9,此时,N位于C点.
二、解答题
11.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x∈0,π2.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.
 
12.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m•n=sin 2C.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且 •( - )=18,求边c的长.
解:(1)m•n=sin A•cos B+sin B•cos A=sin(A+B),
对于△ABC,A+B=π-C,0<C<π,
∴sin(A+B)=sin C,
∴m•n=sin C,
又m•n=sin 2C,∴sin 2C=sin C,cos C=12,C=π3.
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b.
∵ •( - )=18,
∴ • =18,
即abcos C=18,ab=36.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,
∴c2=4c2-3×36,c2=36,∴c=6. 文 章来
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