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K J.cOm 25分钟规范训练(四)
1.(12分)(2017•陕西省西安市长安区第三次联考)如图所示,足够长的光滑水平面与半径为R的四分之一光滑圆弧轨道平滑连接,质量为m的小球A从圆弧最高点M由静止释放,在水平面上与静止的小球B发生弹性正碰。已知重力加速度为g,两小球均可视为质点,试求:导学号 86084452
(1)小球A刚好到达圆弧轨道最低点N时,小球对轨道的压力大小;
(2)若要求两球发生二次碰撞,求小球B的质量mB应满足的条件。
 
[解析] (1)设小球A到达N点时速度为v,根据机械能守恒定律得:
mgR=12mv2
在N点处:F-mg=mv2R
联立解得F=3mg
由牛顿第三定律得:小球对轨道压力大小为F′=F=3mg
(2)A与B发生弹性碰撞,设碰后速度为vA,vB
由动量守恒有:mv=mvA+mBvB
由机械能守恒有:12mv2=12mv2A+12mBv2B
解之得vA=m-mBm+mBv,vB=2mm+mBv
要使两球发生二次碰撞,则vA<0, vB<-vA
联立解得:  mB>3m
2.(20分)一个质量m=2×10-2 kg、电荷量q=+5×10-3 C的带电小球在0时刻以v0=40 m/s的速度从O点沿+x方向(水平向右)射入一空间,在该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场,其中电场沿-y方向(竖直向上),电场强度大小E0=40 v/m。磁场垂直于xOy平面向外,磁感应强度大小B0=4π T。当地的重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,计算结果中可以保留根式或π。求:
(1)12 s末小球速度的大小;导学号 86084453
(2)在给定的xOy坐标系中,大体画出小球在0~24 s内运动轨迹的示意图;
(3)26 s末小球的位置坐标。
 
[解析] (1)0~1 s内,小球只受重力作用,做平抛运动。当同时加上电场和磁场时,电场力:F1=qE0=0.2 N,方向向上,重力:G=mg=0.2 N,方向向下,重力和电场力恰好平衡。此时小球只受洛伦兹力而做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有:qvB0=mv2r,
运动周期T=2πrv,联立解得T=2 s,正好是电场、磁场同时存在时间的5倍,即在这10 s内,小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动。所以小球在t1=12 s时刻的速度相当于小球做平抛运动t=2 s时的末速度。
vy=gt=20 m/s
vx=v0=40 m/s
v1=v2x+v2y=205 m/s
(2)小球在24 s内的运动轨迹示意图如图所示;
 
(3)分析可知,小球26 s末与24 s末的位置相同,在26 s内小球做了3 s的平抛运动,23 s末小球平抛运动的位移大小为:
 x1=v0×3=120 m
y1=12g×32=45 m
3 s时小球的速度大小为v2=v20+3g2=50 m/s
  速度与竖直方向的夹角为θ=53˚
此后小球做匀速圆周运动的半径r2=mv2qB0=50π m
26 s末,小球恰好完成了半个圆周运动,此时小球的位置坐标
x2=x1•2r2cos θ=120-60π  m
y2=y1+2r2sin θ=45+80πm 文章来
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