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文 章来 源莲山 课件 w w
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2018高考高三数学3月月考模拟试题04
满分150分.用时120分钟
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.                                               
1.对于任意向量 、 、 ,下列命题中正确的是
A.        B.      C.    D.
2.直线 与圆 的位置关系是
A.相交              B.相切               C.相离              D.取决于 的值

文3(理1).若 ( 是虚数单位)是关于 的方程 ( )的一个解,则
A.                B.                 C.                D.  

4.已知函数 的图象如图1所示,则其导函数 的图象可能是

                     
 5.若函数  的一个对称中心是 ,则 的最小值为
A.1                 B.2                  C.4                  D.8

6.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于
    圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两
    部分,则截面的面积为
A.                                     B. 
C.                                    D.

7.某辆汽车购买时的费用是15万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元.年维修保养费用第一年3000元,以后逐年递增3000元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是
   A.8年               B.10年              C.12年             D.15年

8.记实数 , ,…, 中的最大数为 ,最小数为 ,则
 
A.                 B.1                  C.3                  D.

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为 的样本,其中甲型钢笔有12支,则此样本容量     .
10.已知  为锐角,且 ,则         ..
11.用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成     个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数值表示).
12.已知函数 ,点集 , ,
则 所构成平面区域的面积为        .
13.数列 的项是由1或2构成,且首项为1,在第 个1和第 个1之间有 个2,即数列
   为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列 的前 项和为 ,则    ;    .
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)                          
14.(几何证明选讲选做题)
在△ 中, 是边 的中点,点 在线段 上,且满足 ,延长 交 于点 ,
则 的值为     .  .

15.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,已知点 ,点 是曲线 上任意一点,设点 到直线
 的距离为 ,则 的最小值为      .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
某单位有 、 、 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为  ,  ,  .假定 、 、 、 四点在同一平面内.
(1)求 的大小;
(2)求点 到直线 的距离.
 

17.(本小题满分12分)
已知正方形 的边长为2, 分别是边 的中点.
(1)在正方形 内部随机取一点 ,求满足 的概率;
(2)从 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的
距离为 ,求随机变量 的分布列与数学期望 .

18.(本小题满分14分)
等边三角形 的边长为3,点 、 分别是边 、 上的点,且满足  (如图
3).将△ 沿 折起到△ 的位置,使二面角 成直二面角,连结 、 
(如图4).
(1)求证: 平面 ;
(2)在线段 上是否存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ?若存在,求出 的长,若不存在,请说明理由.


19.(本小题满分14分)
已知 ,设命题 :函数 在区间 上与 轴有两个不同的交点;命题 : 在区间 上有最小值.若 是真命题,求实数 的取值范围.
 


20.(本小题满分14分)
经过点 且与直线 相切的动圆的圆心轨迹为 .点 、 在轨迹 上,且关于 轴对称,过线段 (两端点除外)上的任意一点作直线 ,使直线 与轨迹 在点 处的切线平行,设直线 与轨迹 交于点 、 .
(1)求轨迹 的方程;
(2)证明: ;
(3)若点 到直线 的距离等于 ,且△ 的面积为20,求直线 的方程.


21.(本小题满分14分)
设 是函数  的零点.
(1)证明: ;
(2)证明:  .
 

参考答案

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B C B D

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题第一个空2分,第二个空3分.
9.54      10.       11.     12.     13. ;     14.      15.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12分)
解:(1)在△ 中,因为  ,  ,  ,
由余弦定理得  ………………………………………………………2分
 . ……………………………………………………3分
因为 为△ 的内角,所以 .……………………………………………………4分
(2)方法1:因为发射点 到 、 、 三个工作点的距离相等,
所以点 为△ 外接圆的圆心.……………………………………………………………………5分
设外接圆的半径为 ,
在△ 中,由正弦定理得 , ……………………………………………………………7分
因为 ,由(1)知 ,所以 .
所以 ,即 .…………………8分
过点 作边 的垂线,垂足为 ,…………………………9分
在△ 中, , ,
所以  ……………………………………11分
         .
所以点 到直线 的距离为  .……………………………………………………………12分
方法2:因为发射点 到 、 、 三个工作点的距离相等,
所以点 为△ 外接圆的圆心.……………………5分
连结 , ,
过点 作边 的垂线,垂足为 , …………………6分
由(1)知 ,
所以 .
所以 .………………………………………9分
在 △ 中, ,
所以 .………………………………11分
所以点 到直线 的距离为  .……………………………12分
17.(本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解能力与数据处理能力等,本小题满分12分)
解:(1)这是一个几何概型.所有点 构成的平面区域是正方形 的内部,其面积是 .
                                                    ………………………………………………1分
满足 的点 构成的平面区域是以 为圆心, 为半径的圆的内部与正方形 内部的公共部分,它可以看作是由一个以 为圆心、 为半径、
圆心角为 的扇形 的内部(即四分之一个圆)与两个
直角边为1的等腰直角三角形(△ 和△ )内部
构成. ……………………………………………………………2分
其面积是 .………………3分
所以满足 的概率为 .………………………………………4分
(2)从 这八个点中,任意选取两个点,共可构成 条不同的线段.
                                              ……………………………………5分
其中长度为1的线段有8条,长度为 的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为 的线段有8条,长度为 的线段有2条.
所以 所有可能的取值为 .……………………………………7分
且 ,          ,          ,
 ,        . ………………………………………9分
所以随机变量 的分布列为:
 
 
 

随机变量 的数学期望为
  .…………………………12分
18.(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分)
证明:(1)因为等边△ 的边长为3,且  ,
所以 , .
在△ 中, ,
由余弦定理得 .
因为 ,
所以 .
折叠后有 .……………………………………………………………………………………2分
因为二面角 是直二面角,所以平面  平面 . …………………………3分
又平面  平面  , 平面 , ,
所以 平面 . ………………………………………………………………………………4分
(2)解法1:假设在线段 上存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 .
如图,作 于点 ,连结 、 .………………5分
由(1)有 平面 ,而 平面 ,
所以  .…………………………………………………6分
又 ,
所以 平面 .…………………………………………………………………………………7分
所以 是直线 与平面 所成的角. ……………………………………………………8分
设  ,则 , .…………………………………………………9分
在 △ 中, ,所以 .………………………………………………10分
在 △ 中, , .………………………………………………………11分
由 ,
得 .…………………………………………………………………………12分
解得 ,满足 ,符合题意.……………………………………………………………13分
所以在线段 上存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ,此时 .………14分

解法2:由(1)的证明,可知 , 平面 .
    以 为坐标原点,以射线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 如图. …………………………………………………………5分
设  ,
则 , , . ……………………6分
所以 , , .…………7分
所以 .……………………………………………………………………………8分
因为 平面 ,
所以平面 的一个法向量为 .……………………………………………………9分
因为直线 与平面 所成的角为 ,
所以  ………………………………………………………………………………10分
 ,……………………………………………………………11分
解得 . ……………………………………………………………………………………………12分
即 ,满足 ,符合题意. ……………………………………………………13分
所以在线段 上存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ,此时 .………14分
 

19.(本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分)
解:要使函数 在 上与 轴有两个不同的交点,
必须 ……………………………………………………………………………………………2分
即 ………………………………………………………………………………4分
解得 .
所以当 时,函数 在 上与 轴有两个不同的交点.…5分
下面求 在 上有最小值时 的取值范围:
方法1:因为 …………………………………………………………6分
①当 时, 在 和 上单调递减, 在 上无最小值;……………7分
②当 时,  在 上有最小值 ;………………………8分
③当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
 在 上有最小值 .…………………………………………………………9分
所以当 时,函数 在 上有最小值.……………………………………………10分
方法2:因为 …………………………………………………………6分
因为 ,所以 .
所以函数 是单调递减的.………………………………………………7分
要使 在 上有最小值,必须使 在 上单调递增或为常数.……8分
即 ,即 .……………………………………………………………………………………9分
所以当 时,函数 在 上有最小值. ……………………………………………10分
若 是真命题,则 是真命题且 是真命题,即 是假命题且 是真命题.……………11分
所以  …………………………………………………………………………12分
解得 或 . ………………………………………………………………………13分
故实数 的取值范围为 .…………………………………………14分

20.(本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)
解:(1)方法1:设动圆圆心为 ,依题意得, .…………………………1分
整理,得 .所以轨迹 的方程为 .…………………………………………………2分
方法2:设动圆圆心为 ,依题意得点 到定点 的距离和点 到定直线 的距离相等,
根据抛物线的定义可知,动点 的轨迹是抛物线.……………………………………………………1分
且其中定点 为焦点,定直线 为准线.
所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 .………………………………………………………2分


(2)由(1)得 ,即 ,则 .
设点 ,由导数的几何意义知,直线 的斜率为 .…………………………3分
由题意知点 .设点 , ,
则 ,即 .……4分
因为 , .……………………………5分
由于 ,即 .………………………6分
所以 .…………………………………………………………………………………7分
(3)方法1:由点 到 的距离等于 ,可知  .………………………………8分
不妨设点 在 上方(如图),即 ,直线 的方程为: .

解得点 的坐标为 .……………………………………………10分
所以 .
由(2)知  ,同理可得 .………………………………11分
所以△ 的面积 ,
解得 .…………………………………………………………………………12分
当 时,点 的坐标为 , ,
直线 的方程为 ,即 .………………………………13分
当 时,点 的坐标为 , ,
直线 的方程为 ,即 . ……………………………………14分
方法2:由点 到 的距离等于 ,可知  .…………………………………8分
由(2)知  ,所以  ,即 .
由(2)知 , .
所以 .
即 .        ①
由(2)知 .           ②
不妨设点 在 上方(如图),即 ,由①、②解得 …………………………10分
因为 ,
同理 . ………………………………………………………………………………11分
以下同方法1.

21.(本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)
证明:(1)因为 , ,且 在 上的图像是一条连续曲线,
所以函数 在 内有零点.………………………………………………………………………1分
因为 ,
所以函数 在 上单调递增.………………………………………………………………………2分
所以函数 在 上只有一个零点,且零点在区间 内.
而 是函数 的零点,
所以 .……………………………………………………………………………………………3分
(2)先证明左边的不等式:
因为 ,
由(1)知 ,
所以 .……………………………………………………………………………………………4分
即 .
所以 .…………………………………………………………………………………………5分
所以 .…………………………………………………6分
以下证明 .              ①
方法1(放缩法):因为 ,…………………………………………7分
所以
 .………………………………………………………………9分
方法2(数学归纳法):1)当 时, ,不等式①成立.
2)假设当 ( )时不等式①成立,即
 .
那么
 
 .
以下证明 .                 ②
即证 .
即证 .
由于上式显然成立,所以不等式②成立.
即当 时不等式①也成立.
根据1)和2),可知不等式①对任何 都成立.
所以 .…………………………………………………………………………9分
再证明右边的不等式:
当 时, .
由于 , ,
所以 .…………………………………………………………………………………………10分
由(1)知 ,且 ,所以 . ……………………………11分
因为当 时, ,…………………………………………………………12分
所以当 时,
                                      .
所以当 时,都有 .
综上所述,  .……………….………………14分
 

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