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2018高考数学一轮复习(文科)训练题:周周测2 (带答案)

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2018高考数学一轮复习(文科)训练题:周周测2 (带答案)

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来源 莲山课
件 w w w.5 Y K
j.Co M

周周测2 函数综合测试
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2018•贵阳二模)下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是(  )
A.y=-2x+1  B.y=1x
C.y=lgx         D.y=x3
答案:B
解析:y=-2x+1在定义域上为单调递减函数;y=lgx在定义域上为单调递增函数;y=x3在定义域上为单调递增函数;y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上均为单调递减函数,但在定义域上不是单调函数.故选B.
2.(2018•太原一模)设函数f(x),g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论正确的是(  )
A.f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)-g(x)是偶函数
C.f(x)g(x)是奇函数
D.f(x)g(x)是偶函数
答案:C
解析:∵f(x),g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).令F(x)=f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x)=-F(x),∴F(x)=f(x)g(x)为奇函数.故选C.
3.(2018•广东三校联考)设函数f(x)=x2+2x,x<0,-x2,x≥0,若f(f(a))≤3,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-3)  B.[-3,+∞)
C.[-3,3]    D.(-∞,3]
答案:D
解析:令f(a)=t,则f(t)≤3⇔t<0,t2+2t≤3或t≥0,-t2≤3,解得t≥-3,则f(a)≥-3⇔a<0,a2+2a≥-3或a≥0,-a2≥-3,解得a<0或0≤a≤3,则实数a的取值范围是(-∞,3],故选D.
4.(2018•湖南长沙雅礼中学月考)若偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(2 ),则a,b,c满足(  )
A.a<b<c  B.b<a<c
C.c<a<b  D.c<b<a
答案:B
解析:因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为0<log45<log49=log23<2<2 ,所以f(log45)<f(log23)<f(2 ),即b<a<c.故选B.
5.设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=13x-1,则f25,f54,f12的大小关系是(  )
A.f25>f12>f54
B.f25>f54>f12
C.f12>f25>f54
D.f54>f12>f25
答案:D
解析:因为函数y=f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)的图象关于x=1对称,所以f25=f85,f12=f32,当x≥1时,f(x)=13x-1单调递减,由54<32<85,可得f85<f32<f54,即f25<f12<f54,故选D.
6.(2018•山东菏泽一模,10)设min{m,n}表示m、n二者中较小的一个,已知函数f(x)=x2+8x+14,g(x)=min12x-2,log24x(x>0),若∀x1∈[-5,a](a≥-4),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为(  )
A.-4  B.-3
C.-2  D.0
答案:C
解析:令12x-2=log2(4x),解得x=1,
易知当0<x≤1时,12x-2≥log2(4x),
当x>1时,12x-2<log2(4x),
∴g(x)=min12x-2,log24x(x>0)=log24x,0<x≤1,12x-2,x>1,
∴当0<x≤1时,g(x)的值域为(-∞,2],
当x>1时,g(x)的值域为(0,2),
∴g(x)的值域为(-∞,2].
易得f(x)=(x+4)2-2,其图象开口向上,对称轴为x=-4,则当-4≤a≤-3时,函数f(x)在[-5,a]上的值域为[-2,-1],显然满足题意;
当a>-3时,函数f(x)在[-5,a]上的值域为[-2,a2+8a+14],
要满足∀x1∈[-5,a](a≥-4),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,
只需a2+8a+14≤2,则-3<a≤-2,
综上所述,满足题意的a的取值范围为[-4,-2],∴a的最大值为-2,故选C.
解题关键 由∀x1∈[-5,a](a≥-4),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,得f(x)在[-5,a]上的值域是g(x)在(0,+∞)上值域的子集是解题的关键.
7.(2018•福建连城朋口中学期中)若函数y=loga(2-ax)在x∈[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A.(0,1)  B.(1,2)
C.(0,2)  D.(1,+∞)
答案:B
解析:令u=2-ax,因为a>0,所以u是关于x的减函数,当x∈[0,1]时,umin=2-a×1=2-a.因为2-ax>0在x∈[0,1]时恒成立,所以umin>0,即2-a>0,a<2.
要使函数y=loga(2-ax)在x∈[0,1]上是减函数,则y=logau在其定义域上必为增函数,故a>1.
综上所述,1<a<2.故选B.
易错警示 忽略真数大于0致错
在解决真数含参数的对数问题时,一定要保证真数大于0.忽略这一点,会使所求参数取值范围扩大致误.
8.(2018•重庆第八中学月考)函数f(x)=ax+bx2+c的图象如图所示,则下列结论成立的是(  )
 
A.a>0,c>0  B.a>0,c<0
C.a<0,c>0  D.a<0,c<0
答案:A
解析:由f(0)=0,得b=0,f(x)=axx2+c.由x>0时,f(x)>0,且f(x)的定义域为R,故a>0,c>0.故选A.
9.(2018•山西太原二模,7)函数f(x)=ln|x-1||1-x|的图象大致为(  )

 
答案:D
解析:函数f(x)=ln|x-1||1-x|的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且图象关于x=1对称,排除B、C.取特殊值,当x=12时,f(x)=2ln12<0,故选D.
10.(2018•福建南平浦城期中)已知函数f(x)=|ln|x-1||+x2与g(x)=2x,则它们所有交点的横坐标之和为(  )
A.0  B.2
C.4  D.8
答案:C
解析:令f(x)=g(x),即|ln|x-1||+x2=2x,∴|ln|x-1||=2x-x2,分别作出y=|ln|x-1||和y=-x2+2x的函数图象如图,显然函数图象有4个交点.设横坐标依次为x1,x2,x3,x4.∵y=|ln|x-1||的图象关于直线x=1对称,y=-x2+2x的图象关于直线x=1对称,∴x1+x4=2,x2+x3=2,∴x1+x2+x3+x4=4.故选C.
 
11.函数f(x)=2x-1+ln1x的零点所在的大致区间是(  )
A.(0,1)  B.(1,2)
C.(2,3)  D.(0,1),(2,3)
答案:D
解析:方法一 求函数f(x)=2x-1+ln1x的零点所在的大致区间,等价于求2x-1+ln1x=0的解所在的大致区间,等价于求2x-1=-ln1x的解所在的大致区间,等价于求2x-1=lnx的解所在的大致区间,等价于求y=2x-1与y=lnx的图象在(0,+∞)上的交点的横坐标所在的大致区间(如图所示),
 
由图可得,选D.
方法二 由f(x)=2x-1+ln1x可得其定义域为(0,1)∪(1,+∞),且f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,+∞),
因为f1e3=21e3-1+ln11e3=2e31-e3+3=3-e31-e3>0,
f1e=21e-1+ln11e=2e1-e+1=1+e1-e<0,
所以函数f(x)=2x-1+ln1x在区间(0,1)内有零点.
因为f(2)=22-1+ln12=2-ln2>0,f(3)=23-1+ln13=1-ln3<0,
所以函数f(x)=2x-1+ln1x在区间(2,3)内有零点.
综上所述,函数f(x)=2x-1+ln1x的零点所在的大致区间为(0,1),(2,3).故选D.
12.(2017•山东卷)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是(  )
A.(0,1]∪[23,+∞)     B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,2]∪[23,+∞)  D.(0,2]∪[3,+∞)
答案:B
解析:①当0<m≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=x+m的图象,如图.
 
易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点;
②当m>1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=x+m的图象,如图.
 
要满足题意,则(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0(舍去),∴m≥3.
综上,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).故选B.
方法总结 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:
①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围.
②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决.
③数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知函数y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减.若f(a)<f(2),求实数a的取值范围为________.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:∵y=f(x)是偶函数,∴f(a)=f(|a|).
∵f(a)<f(2),
∴f(|a|)<f(2),
∵y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,∴|a|>2,即a>2或a<-2.
∴实数a的取值范围是a>2或a<-2.
14.(2018•云南曲靖一中月考)已知函数f(x)满足f(5x)=x,则f(2)=________.
答案:log52
解析:因为f(5x)=x,所以f(2)=f(5 )=log52.
15.(2018•陕西黄陵中学月考(四))若幂函数f(x)=(m2-3m+3)x 的图象不经过坐标原点,则实数m的值为________.
答案:1或2
解析:由于函数f(x)为幂函数,故m2-3m+3=1,解得m=1或2,m=1时,f(x)=x-2的图象不过原点,m=2时,f(x)=x0的图象不过原点,故m=1或2.
16.(2018•龙岩质检)已知f(x)是奇函数,且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是________.
答案:-78
解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
设g(x)=mx2+x+1.
(1)若g(x)的定义域为R,求m的范围;
(2)若g(x)的值域为[0,+∞),求m的范围.
解析:(1)由题知f(x)=mx2+x+1≥0恒成立,
①当m=0时,f(x)=x+1≥0不恒成立;
②当m≠0时,要满足题意必有m>0,Δ=1-4m≤0,
∴m≥14.
综上可知,m的范围为[14,+∞).
(2)由题知,f(x)=mx2+x+1能取到一切大于或等于0的实数.
①当m=0时,f(x)=x+1可以取到一切大于或等于0的实数;
②当m≠0时,要满足题意必有m>0,Δ=1-4m≥0,
∴0<m≤14.
综上可知,m的范围为[0,14].
18.(本小题满分12分)
(2018•陕西黄陵中学月考)已知函数g(x)=4x-n2x是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数(m,n∈R).
(1)求m+n的值;
(2)设h(x)=f(x)+12x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为g(x)为奇函数,且定义域为R,
所以g(0)=0,即40-n20=0,解得n=1.
此时g(x)=4x-12x=2x-2-x是奇函数,所以n=1.
因为f(x)=log4(4x+1)+mx,
所以f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x.
又因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,
解得m=-12.所以m+n=12.
(2)因为h(x)=f(x)+12x=log4(4x+1),
所以h[log4(2a+1)]=log4(2a+2).
又因为g(x)=4x-12x=2x-2-x在区间[1,+∞)上是增函数,所以当x≥1时,g(x)min=g(1)=32.
由题意得 解得-12<a<3.
所以实数a的取值范围是-12,3.
19.(本小题满分12分)
设f(x)为定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x;当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)写出函数f(x)的值域和单调区间.
解析:(1)当x>2时,设f(x)=a(x-3)2+4.
∵f(x)的图象过点A(2,2),
 
∴f(2)=a(2-3)2+4=2,∴a=-2,∴f(x)=-2(x-3)2+4.
设x∈(-∞,-2),则-x>2,∴f(-x)=-2(-x-3)2+4.
又因为f(x)在R上为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=-2(-x-3)2+4,即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2).
(2)函数f(x)图象如图所示.
由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}.单调增区间为(-∞,-3],[0,3].单调减区间为[-3,0],[3,+∞).
20.(本小题满分12分)
(2018•山东潍坊中学月考(一))中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台,需另投入成本c(x)(万元),当年产量不足80台时,c(x)=12x2+40x(万元);当年产量不小于80台时,c(x)=101x+8 100x-2 180(万元).若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?
解:(1)当0<x<80时,
y=100x-12x2+40x-500=-12x2+60x-500;
当x≥80时,y=100x-101x+8 100x-2 180-500=1 680-x+8 100x.
∴y=-12x2+60x-500,0<x<80,1 680-x+8 100x,x≥80.
(2)当0<x<80时,y=-12(x-60)2+1 300,
∴当x=60时,y取得最大值,最大值为1 300万元;
当x≥80时,y=1 680-x+8 100x≤1 680-2x•8 100x=1 500,当且仅当x=8 100x,即x=90时,y取得最大值,最大值为1 500万元.
综上,当年产量为90台时,该企业在这一电子设备生产中所获利润最大,最大利润为1 500万元.
21.(本小题满分12分)
(2018•宁夏育才中学第二次月考)已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R.
(1)若函数f(x)在(-∞,+∞)上至少有一个零点,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[a,a+1]上的最大值为3,求a的值.
解:(1)由Δ=16-4(a+3)≥0,得a≤1.
故实数a的取值范围是(-∞,1].
(2)f(x)=(x-2)2+a-1.
当a+1<2,即a<1时,f(x)max=f(a)=a2-3a+3=3,解得a=0,a=3(舍去);
当1≤a≤32时,f(x)max=f(a)=3,解得a=0或3(均舍);
当32<a≤2时,f(x)max=f(a+1)=a2-a=3,解得a=1±132(均舍).
当a>2时,f(x)max=f(a+1)=a2-a=3,解得a=1+132,a=1-132(舍去).
综上,a=0或a=1+132.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切实数x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
解析:(1)因为f(x)=ex-(1e)x,且y=ex是增函数,
y=-(1e)x是增函数,所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,
所以f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立⇔(t+12)2≤(x+12)2min⇔(t+12)2≤0⇔t=-12.
即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切实数x都成立.
 

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